antriebstechnik 4/2018

KOMPONENTEN UND SOFTWARE

KOMPONENTEN UND SOFTWARE Faktor f tB Weibull-Formparameter β Wellen 0.7…0.9 (0.8) 1.1…1.9 (1.5) Kugellager 0.1…0.3 (0.2) 1.1 Rollenlager 0.1…0.3 (0.2) 1.35 Zahnflanke 0.4…0.8 (0.6) 1.1…1.5 (1.5) Zahnfuß 0.8…0.95 (0.875) 1.2…2.2 (1.8) Tabelle 03: Faktoren für Weibull-Verteilung nach Bertsche; in Klammern empfohlene Werte Berechnung der Faktoren für die Bestimmung der Zuverlässigkeit R(t) nach B. Bertsche mit Weibull-Verteilung: R(t) = 100 × Exp( - ((t × fac - t 0 ) / (T - t 0 ))^b) %; t in Stunden (h) Rad fac b t 0 T R(H) % 1 Zahnfuß 1 000 1,7 1,667e + 007 2,562e + 007 82,99 1 Zahnflanke 1 000 1,3 3,543e + 007 1,688e + 008 100,00 2 Zahnfuß 329 1,7 2,416e + 006 3,713e + 006 0,07 2 Zahnflanke 329 1,3 3,826e + 007 1,823e + 008 100,00 Zuverlässigkeit der Konfiguration bei Soll-Lebensdauer (%): 0,06 (Bertsche) Tabelle 04: Ausgabe der Faktoren für die Weibull-Gleichung zur Berechnung der Zuverlässigkeit Formelzeichen R Zuverlässigkeit (der einzelnen Komponente) % R S Zuverlässigkeit des Systems % t Lastwechselzahl t 0 Versagensfreie Anzahl Lastwechsel (während der ersten t 0 Lastwechseln tritt kein Versagen auf) T Charakteristische Lebensdauer (in Lastwechseln) bei 63,2 % Ausfallwahrscheinlichkeit (36,8 % Zuverlässigkeit) fac β Anzahl Lastwechsel pro Stunde (Umrechnung von Betriebsstunden in Lastwechsel) Weibull-Formparameter f tB Faktor (s. Tabelle 3) H att Erreichbare Lebensdauer des Bauteils (in Stunden) h H att10 Erreichbare Lebensdauer des Bauteils bei 10 % Ausfallwahrscheinlichkeit F o Spezifische Schadenswahrscheinlichkeit (bei Berechnung H att , s. Tabelle 02) Die Beurteilung des Resultates einer Nachrechnung ist deshalb anspruchsvoll und setzt Kenntnisse der Rechenmethode sowie der anzusetzenden Mindestsicherheiten voraus. Bild 01 zeigt in Kisssys [1] das Ergebnis der Festigkeitsberechnung von allen wichtigen Bauteilen eines 4-stu figen Kegel-Stirnrad-Getriebes. Die Darstellung der Resultate ist übersichtlich; trotzdem ist es unmöglich, auch für den erfahrenen Spezialisten, auf den ersten Blick zu erkennen: n ob das Getriebe bezüglich Nenndreh moment (100 Nm) und Soll- Lebensdauer (5 000 h) ausreichend dimensioniert ist und n welches der Bauteile das schwächste Glied im Getriebe ist und gegebenenfalls verstärkt werden müsste. Beim Getriebe von Bild 01 stellt sich z. B. die Frage, ob das kritischste Wälzlager (auf der Antriebswelle ‘Shaft1’) mit nur 3 300 h Lebensdauer oder die ungenügende Flankensicherheit des Kegelradpaars (‘Pair1’ mit nur 0,91 Sicherheitsfaktor) gravierender ist und zu einem vorzeitigen Ausfall führen kann. Dabei muss noch beachtet werden, dass sich die Flankensicherheit proportional zum Quadrat des Drehmoments verhält. Bei einer Reduktion des Nenndrehmomentes von 100 auf 88 Nm erhöht sich die Flankensicherheit in diesem Fall nur von 0,91 auf 0,96 – die Lebensdauer des kritischsten Lagers hingegen von 3 300 auf 5 100 h. Das Kegelradpaar ist somit das schwächste Bauteil in diesem Getriebe. 1/h h % Bestimmung von Lebensdauer & Co. Bei allen Rechenmethoden, welche die zulässige Belastung über die Woehlerlinie des Werkstoffs definieren, lässt sich die erreichbare Lebensdauer bestimmen. Dies ist somit bei allen Zahnradund Wälzlager-Berechnungen möglich. Bei der Wellenberechnung kann in der neuesten Ausgabe der DIN 743 (2012) [2] und bei der FKM-Richtlinie [3] mit Woehlerlinien gerechnet werden; bei AGMA 6001 [4] hingegen ist dies nur eingeschränkt möglich. Zur Berechnung muss neben der Belastung auch die Mindestsicherheit vorgegeben werden. Die Lebensdauer wird dann bezüglich dieser Mindest- oder Soll-Sicherheit bestimmt. Damit können die berechneten Lebensdauer-Werte der verschiedenen Bauteile direkt miteinander verglichen werden; das Element mit der tiefsten Lebensdauer ist das schwächste Glied im Getriebe. Eine aus der Lebensdauer abgeleitete und vor allem bei Lastkollektiven praktische Kenngröße ist die Schädigung eines Bauteils (engl.: damage). Die Schädigung ist gleich dem Verhältnis der Soll- Lebensdauer zur erreichbaren Lebensdauer. Die Zunahme der Schädigung eines Bauteils verhält sich somit proportional zur Zeit (Lastwechselzahl). Bild 02 zeigt das Resultat einer Stirnradpaarung mit einem Belastungskollektiv. Die Angabe der Schädigung pro Schadenskriterium (Fuß/Flanke, Ritzel/Rad) und pro Lastkollektivelement zeigt klar, welches das dominierende Schadenskriterium und welches das am meisten schädigende Lastkollektivelement ist. Die Zusammenfassung der Resultate einer Getriebeberechnung durch Angabe der Schädigung aller wichtigen Bauteile (Tabelle 01) erlaubt direkt und rasch die Schwachstellen im Getriebe zu lokalisieren und das Gesamtresultat zu erhalten: und zwar, ob das Getriebe die Anforderung erfüllt (keine der Einzelschädigungen ist größer 100 %) oder nicht. Verglichen mit der zuvor besprochenen üblichen Darstellung (Bild 01) sind die Angaben bei Verwendung der Schädigungen einheitlicher (keine Sicherheitsfaktoren bei Zahnrädern und keine Lebensdauer-Werte bei Wälzlagern), zudem sind unterschiedlich vorgegebene Mindestsicherheiten im Resultat bereits integriert, und müssen somit nicht zusätzlich berücksichtigt werden beim Vergleich der Ergebnisse. In letzter Zeit wird in Festigkeitsberechnungen auch die sogenannte Auslastung (engl.: exposure) bestimmt; z. B. in der FKM- Richtlinie [3] für Wellen oder im Entwurf einer ISO-Norm für Flankenbruch. Die Auslastung ist an sich der Kehrwert des rechnerischen Sicherheitsfaktors, beinhaltet aber bereits die erforderliche Mindestsicherheit. Die Auslastung ist somit proportional zur Last, und kann deshalb nicht proportional zur Schädigung sein. Da Last 108 antriebstechnik 4/2018

KOMPONENTEN UND SOFTWARE und Lebensdauer durch die logarithmische Woehlerlinie verknüpft sind, wird eine Erhöhung der Auslastung um 10 % – je nach Neigung der Woehlerlinie – eine Erhöhung der Schädigung um 100 % und mehr bewirken. Bei einer eher belastungsorientierten Betrachtung der Resultate kann die Verwendung der Auslastung der Schädigung vorgezogen werden. Ausfallwahrscheinlichkeit von Maschinenelementen Die Verwendung der Schädigung als Kriterium, um die Zuverlässigkeit von Getriebekomponenten zu quantifizieren, scheint das perfekte Instrument zu sein, um eine Aussage zur Lebensdauer von Getriebekomponenten zu machen. Dabei gibt es jedoch ein Problem: Werkstoffkennwerte wie die Woehlerlinie werden mit Proben gemessen, die Messresultate streuen. Um einen Kennwert für die Berechnung zu erhalten, wird üblicherweise angenommen, dass die Messwerte einer Normalverteilung entsprechen. Dann wird, wiederum unterschiedlich je nach Methode, festgelegt, für welche Schadenswahrscheinlichkeit die bei der Berechnung verwendeten Festigkeitswerte gelten (Tabelle 02). Ein mit Ausfallwahrscheinlichkeit 90 % bestimmter Werkstoffkennwert ist höher als ein mit 99 % bestimmter. Somit ergibt sich bei Anwendung der 90 % Ausfallwahrscheinlichkeit ein höherer Sicherheitsfaktor und eine höhere rechnerische Lebensdauer des Bauteils und somit eine kleinere Schädigung bei Soll-Lebensdauer. So können Schädigungen, berechnet mit Methoden, welche unterschiedliche Ausfallwahrscheinlichkeiten vorschreiben, auch nicht direkt verglichen werden. Die berechneten Schädigungen sind auch keine exakten Werte, sondern – wegen der Werkstoffkennwert-Streuung und anderer Effekte, welche in der Rechenmethode nicht berücksichtigt sind – einer statistischen Streuung unterworfen. Ein Getriebeausfall kann entstehen, weil ein anderes Bauteil als das kritischste verfrüht bricht – dies kommt in der Praxis häufig vor. Bei der Angabe einer erreichbaren Lebensdauer (bzw. einer Schädigung bei Soll-Lebensdauer) müsste deshalb gleichzeitig die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben werden. Wenn nun aus Versuchen statistische Parameter wie z. B. die Streuung der Resultate bei Normalverteilung bestimmt werden, kann auf Basis der rechnerisch bestimmten Lebensdauer mit statistischem Ansatz eine Versagenswahrscheinlichkeit in Funktion der Zeit ermittelt werden. Das Gegenteil der Versagenswahrscheinlichkeit ist die Zuverlässigkeit (engl.: reliability). Da bei diesem Ansatz die der Rechenmethode inhärente Ausfallwahrscheinlichkeit (Tabelle 02) berücksichtigt ist, können nun berechnete Zuverlässigkeitswerte verschiedener Bauteile bei Soll-Lebensdauer effektiv miteinander verglichen werden. Die Zuverlässigkeit wird in Prozent von 0 bis 100 angegeben und hat auch einen psychologisch wichtigen Nebeneffekt, denn Sicherheitsfaktoren vermitteln den Eindruck, absolute Werte zu sein: Ein Getriebe mit hohen Faktoren kann nicht versagen. Eine Darstellung desselben Resultats als Zuverlässigkeit, auch wenn sie 99,99 % ist, zeigt hingegen immer, dass eine Restunsicherheit bleibt. Bestimmung der Zuverlässigkeit Die Berechnung der Zuverlässigkeit wird noch nicht verbreitet verwendet. Allerdings besteht ein zunehmendes Interesse, da bspw. im Windenergie-Bereich eine Nachfrage nach einer Aussage zur Systemzuverlässigkeit besteht [5]. Es gibt auch keine Norm im Maschinenbau, welche eine solche Regel enthält. Eine klassische Quelle für diese Berechnung ist das Werk von Bertsche [6], in welchem die möglichen Verfahren ausführlich beschrieben werden. In diesem Beitrag wird deshalb auf die Besprechung der verschiedenen Methoden verzichtet. Am üblichsten und gut angepasst an die aus klassischen Maschinenbauberechnungen erhältlichen Resultate ist die sogenannte „Weibull-Verteilung“. Bertsche empfiehlt hier die Verwendung der Drei-Parameter-Weibull-Verteilung. Die Zuverlässigkeit R eines Maschinenelements in Abhängigkeit der Lastwechselzahl t wird nach Gleichung 1 berechnet. Die Parameter T und t 0 lassen sich aus der rechnerisch erreichbaren Lebensdauer H att des Bauteils wie folgt bestimmen (mit F o entsprechend Rechenmethode, Tabelle 02, β und f tB aus Tabelle 03 nach Bertsche): mit Mit der Gleichung (1) für R(t) kann nun der Verlauf der Zuverlässigkeit in Abhängigkeit der Zeit (oder Zyklenzahl) grafisch dargestellt werden. Die Berechnung der Lastwechselwerte t 0 und T kann einfach im Anschluss an eine Lebensdauerberechnung erfolgen. Dazu werden die Gleichungen (2) bis (4) unter Verwendung der erreichbaren Lebensdauer H att verwendet. In Kisssoft [1] werden diese Angaben im Protokoll dokumentiert und können für weitere Analysen übernommen werden (Tabelle 04). Teil 2 dieses Artikels können Sie demnächst in der antriebstechnik lesen. www.kisssoft.ag Literaturverzeichnis: [1] KISSsoft/KISSsys; Festigkeitsberechnung für den Maschinenbau; www.kisssoft.ag [2] DIN 743, Tragfähigkeitsberechnung von Wellen und Achsen, 2012 [3] FKM-Richtlinie, Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile, 2012 [4] AGMA 6001-D97: Design and Selection of Components for Enclosed Gear Drives; AGMA, 1997 [5] Falko, T.; Strasser, D; u. a.: Determination of the Reliability for a Multi-Megawatt Wind Energy Gearbox; VDI-Bericht Nr.2255, 2015 [6] Bertsche, B.: Reliability in Automotive and Mechanical Engineering; Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2008 antriebstechnik 4/2018 109