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antriebstechnik 1-2/2016

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Signaloberwellen ist in

Signaloberwellen ist in Bild 04, links exemplarisch jeweils für eine normierte Amplitude von dargestellt. Der Unterteilungswinkelfehler ∆ϕ SD wird im Folgenden für eine allgemeine Ordnung m und Amplitude der Signaloberwelle, sowie als Funktion des Signalperiodenwinkels, hergeleitet. Definiert wurde der Unterteilungswinkelfehler in Gleichung 7a als Differenz zwischen dem Winkel in einer Signalperiode und dem Unterteilungswinkel. Um den Unterteilungswinkel ϕ SD in der Gleichung zu eliminieren wird dieser durch die Arkustangens-Funktion substituiert und die normierten Messsignale mit Signaloberwellen (Gl. 9c und 9d) in die Gleichung eingesetzt: Eine allgemeine Näherung des Unterteilungswinkelfehlers für beliebige Ordnungen m und kleine Amplituden der Signaloberwellen ist in Gleichung 13b dargestellt. In den Gleichungen für bestimmte Ordnungen entfällt jeweils einer der letzten beiden Terme. Für gerade und ungerade Ordnungen der Signalober wellen entstehen deshalb symmetrische Ergebnisse die in Tabelle 2 bis zur 5. Ordnung der Oberwellen zusammengefasst sind. Werden die von der Idealform abweichenden Messsignale aus Bild 04 in vektorieller Darstellung aufgetragen ist eine charakteristische Abweichung von der idealen Kreisform zu erkennen (Bild 04 rechts). Ebenso wie Grundabweichungen führen Signaloberwellen der Messsignale zu Positionsmessfehlern in einer Signalperiode mit einem trigonometrischen Verlauf. Der Scheitelwert der Signaloberwelle wirkt sich als Amplitude im Positionsmessfehler aus. Die spezielle Form des Fehlers eignet sich für eine Formulierung des mathematischen Modells als Fourier-Reihe: Eine Umformung durch Anwendung trigonometrischer Beziehungen und Formeln führt zu folgender Gleichung: Die Koeffizienten a i und b i der trigonometrischen Terme in Gleichung 14 können den Tabellen 1 und 2 unmittelbar entnommen werden. Alle betrachteten Signalabweichungen führen zu Unterteilungswinkelfehlern mit einem Vielfachen der Frequenz des Messsignals. Das Signalspektrum des Positionsmessfehlers ist somit von ausgeprägten Linienstörern überlagert. Mit dem vorgestellten Modell können die Auswirkungen dieser Störfrequenzen in digitalen Regelkreisen von Servoantrieben systematisch analysiert werden. Mit Umformungen und Substitutionen kann keine weitere Vereinfachung von Gleichung 12 erreicht werden. Jedoch kann der Ausdruck mit Näherungen für kleine Signalamplituden und Unterteilungswinkelfehler reduziert werden: n Bei kleinen Amplituden der Signaloberwellen kann der trigonometrische Term im Nenner von Gleichung 12 vernachlässigt werden n Für kleine Unterteilungswinkelfehler kann die Tangens-Operation mit dem Argument approximiert werden: tan(∆ϕ SD ) ≈ ∆ϕ SD für . Um weiterhin konsistente Gleichungen zu erhalten müssen die approximierten Terme mit der Einheit „rad“ erweitert werden. Für den abgeleiteten Unterteilungswinkelfehler aus Gleichung 12 ergibt sich mit den beschriebenen Näherungen folgender Ausdruck: Modellverifikation Das abgeleitete mathematische Modell des Positionsmessfehlers in einer Signalperiode wird in zwei Schritten verifiziert. Mit einer Simulation kann die Gültigkeit der mathematischen Ableitung des Modells bestätigt werden, speziell im Hinblick auf die eingeführten Näherungen. Die experimentellen Untersuchungen dienen dazu, die Systematik der Signalabweichungen und der daraus resultierenden Positionsmessfehler zu validieren. A Simulation Die Auswirkungen der verschiedenen Signaloberwellen auf den berechneten Unterteilungswinkel ϕ SD können in einer Simulation einzeln betrachtet werden. Weiterhin sind alle Größen verfügbar um den Unterteilungswinkelfehler ∆ϕ SD exakt zu bestimmen. Durch die Simulation kann somit überprüft werden, ob die analytische Ableitung der Gleichungen für den Unterteilungswinkelfehler korrekt durchgeführt wurde. In der Simulation wurde für alle Signaloberwellen eine normierte Amplitude gewählt. Entsprechend dem abgeleiteten Modell muss für die Oberwellen 3. und 5. Ordnung der Verlauf des 70 antriebstechnik 1-2/2016

MESSTECHNIK Unterteilungswinkelfehlers identisch sein. Der Scheitelwert des Unterteilungswinkelfehlers entspricht nach Tabelle 2 der normierten Amplitude der jeweiligen Signaloberwelle. In Bild 05 ist der Verlauf der Unterteilungswinkelfehler aus den Daten der Simulation dargestellt. Der Fehler für die Oberwellen dritter und fünfter Ordnung schwingt wie analytisch berechnet mit vier- facher Frequenz, weiterhin stimmt die Amplitude mit dem Scheitelwert aus Gleichung 15 überein. Weniger anschaulich ist das Ergebnis für die Oberwellen zweiter und vierter Ordnung zu interpretieren, da sich die vier trigonometrischen Terme im Fehler überlagern. Die Lage der Scheitelwerte dieser Fehler kann über die Nullstellen der ersten Ableitung der Gleichungen für die Unterteilungswinkelfehler berechnet werden: 05 Unterteilungswinkelfehler für verschiedene Ordnungen der Signaloberwellen aus der Simulation Die Nullstellen von Gleichung 16b wurden mit einem numerischen Lösungsverfahren ermittelt, da eine analytische Lösung nicht an gegeben werden kann. Setzt man die berechneten Nullstellen in die Originalfunktion ein, so entsprechen die Funktionswerte den min. und max. Scheitelwerten: Auch bei den Signaloberwellen zweiter und vierter Ordnung stimmen die Ergebnisse der Simulation mit den berechneten Werten für die Lage und die Scheitelwerte grundsätzlich überein. Die in der Simulation gewählte normierte Signalamplitude ist im Vergleich zum Stand der Technik extrem hoch gewählt, und führt zu einem sehr großen Winkelfehler bei der Unterteilung. Die eingeführte Näherung zur Herleitung des mathe matischen Modells für kleine Unterteilungswinkelfehler ( ) ist an den Scheitelwerten gerade noch erfüllt. Die Genauigkeit des Modells ist durch die getroffenen Näherungen von der Amplitude der Signaloberwellen abhängig. Der relative Modellfehler e Mod wird gebildet, indem die Abweichung zwischen Simulation ∆ϕ SD,Sim und eingeführten Modell ∆ϕ SD,Mod auf den max. Unterteilungswinkelfehler bezogen wird: m 2 3 4 06 Abweichung des mathematischen Modells für den Unterteilungswinkelfehler gegenüber den Daten aus der Simulation für verschiedene Amplituden der Signaloberwelle dritter Ordnung Unterteilungswinkelfehler 5 ( ) * ∆φSD ≈−uˆ 5sin 4φSP rad In Bild 06 ist der Verlauf der relativen Modellabweichung für verschiedene Signalamplituden der Oberwelle dritter Ordnung exemplarisch Tabelle 2: Gleichungen der Unterteilungswinkelfehler für Signaloberwellen unter der Voraussetzung kleiner Signalabweichungen und Unterteilungswinkelfehler antriebstechnik 1-2/2016 71

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