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antriebstechnik 6/2019

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FORSCHUNG UND

FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED 05 Iterationsablauf Gleichgewichtsberechnung Zur Berücksichtigung der Wechselwirkungen beliebig angestellter Hochgeschwindigkeitswälzlager wurde eine Berechnungsmethode entwickelt, welche jeweils ein Modell für Wellen-Lager-Systeme und für Wälzlager aneinanderkoppelt. Bild 02 zeigt beispielhaft für ein elastisch angestelltes Spindellagerpaket in O-Anordnung den Aufbau des Berechnungsmodells. Das Modell wird aus zwei Bestandteilen zusammengesetzt: Der Geometrie der Bauteile (B) und den Randbedingungen bzw. Verbindungen (V). Im vorliegenden Fall beschreiben die Welle, das Gehäuse sowie die Schiebebuchse die Geometrie während die zwei Wälzlager, die Vorspannfeder, der Schiebesitz sowie die Fesselungen an die Umgebung die Randbedingungen definieren. Die mechanischen Eigenschaften des Systems werden im mathematischen Modell durch die Steifigkeiten, Dämpfungen und Massen der Geometrie und Randbedingungen bestimmt, welche folgendes lineares Differenzialgleichungssystem 2. Ordnung zusammenfasst: Tandem-O mit drei Lagern. Zur Berechnung wird eine weitere Schleife eingeführt, bei der die Verschiebungen der gegeneinander angestellten Lager starr aneinandergekoppelt sind. Im Fall der elastischen Anstellung wird zusätzlich eine Federkraft über den Federweg berücksichtigt. Der Gleichgewichtszustand wird durch das iterative Verschieben der starren Welle erreicht. Durch den beschrieben Ansatz können vier wesentliche Verspannungsfälle eines Schrägkugellagers berücksichtigt werden. Komplexe Lastfälle, wie bspw. unterschiedliche Lagertemperaturen, Einbautoleranzen oder alternative Lageranordnungen werden nicht berücksichtigt. Weiterhin ist eine Berücksichtigung der elastischen oder thermischen Verformung der Welle nicht möglich. Um diese Effekte zu berücksichtigen, müssen die numerischen Lagermodelle direkt in die FE-basierte Wellenberechnung integriert werden. Cao beschreibt einen entsprechenden Ansatz, nutzt allerdings ein vereinfachtes Lagermodell [CAO06; CAO07]. Kommerzielle Berechnungsprogramme nutzen ähnliche Berechnungsansätze, allerdings liegen keine detaillierten Informationen über den Ablauf der Berechnungen vor. In der Industrie finden bspw. die Programme Bearinx der Firma Schaeffler [SCHA05; SCHA12] und Mesys der Firma Mesys [MESY16] weite Verbreitung. GESAMTMODELL 06 Graphische Nutzeroberfläche MTPlus Die Matrizen [K], [C] und [M] beschreiben die räumliche Verteilung der Steifigkeits-, Dämpfungs- und Masseneigenschaften des Systems. Sie sind quadratisch und ihre Größe entspricht dem Produkt aus der Anzahl der Freiheitsgrade mal der Anzahl der Knoten. Der Vektor {q} stellt die Verschiebungen und Verdrehung der Freiheitsgrade dar und dessen erste und zweite Ableitung die entsprechenden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Auf der linken Seite der Gleichung stehen die an den Systemknoten in den einzelnen Freiheitsgraden angreifenden äußeren Kräfte {F}. Die Bauteile werden (Bild 02, rechts) als Bernoulli-Balken mit mehreren Knoten modelliert. Für die Vernetzung wird an jeder Querschnittsänderung der Bauteile sowie an den Positionen der Randbedingungen auf jedem Bauteil ein Knoten erstellt. Zusätzlich wird der Abstand zwischen benachbarten Knoten geprüft und bei Überschreitung eines Minimalabstands zusätzliche Knoten ergänzt. Als Standardwert für die Vernetzung ist eine Knotendichte von einem Knoten pro Millimeter vorgegeben. Durch das Vorgehen entstehen an den Bauteilen Knoten, die außerhalb der Randbedingungen liegen und damit, wie in Bild 02 rechts dargestellt, keiner Belastung unterliegen. Grundsätzlich ist es aber möglich auch an diesen Knoten Kräfte angreifen zu lassen, wie z. B. die Prozesskraft an der Wellenspitze oder die Querkraft durch einen Riemenantrieb am Wellenende. Die Randbedingungen sind grundsätzlich Feder-Dämpfer-Elemente, welche zwei Knoten auf den Geometrien miteinander verbinden. Die Eigenschaften der Randbedingungen hängen von der relativen Verlagerung und Verdrehung der Knoten ab und werden durch einen funktionalen Zusammenhang beschrieben: Die funktionale Beschreibung der Verbindungssteifigkeit ermöglicht die Definition beliebiger Zusammenhänge. Im Fall der Wälzlager wird ein numerisch analytisches Berechnungsmodell hinterlegt, welches die Nichtlinearität der Lager abbildet. LAGERMODELL Das numerisch analytische Lagermodell basiert auf dem oben beschriebenen Ansatz von Tüllmann und berechnet für eine gegebene Geometrie unter Berücksichtigung der Betriebsdaten und der Berechnungseinstellungen das Lagerbetriebsverhalten für verschiedene Betriebspunkte. Die Eingabegrößen werden an das Lagerprogramm übergeben und anschließend bis zu vier verschiedene Betriebspunkte berechnet. Die Berechnung jedes Betriebspunktes erfolgt kraft- oder weggesteuert. Die kraftgesteuerte Berechnung entspricht einer elastischen Anstellung und bringt durch Verschiebung der Position des beweglichen Lagerrings die internen und externen Kräfte unter Berücksichtigung der Steifigkeit ins Gleichgewicht. Zur Berechnung der Steifigkeit wird die Kraftänderung durch eine infinitesimale 68 antriebstechnik 2019/06 www.antriebstechnik.de

PEER REVIEWED FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG Verschiebung des Lagerrings aus dem aktuellen Betriebspunkt bestimmt. Die Steifigkeit ergibt sich durch die Division von Kraftänderung und infinitesimaler Verschiebung. Bei der weggesteuerten Berechnung entfällt die Lageriteration. Die Position des beweglichen Lagerrings wird vorgegeben. Dies entspricht einer starren Anstellung. Ausgehend von der Geometrie wird unter Berücksichtigung der relativen Knotenverschiebung bzw. Ringverlagerung und der Betriebsbedingungen das Lagermodell berechnet. Dabei werden, wie in Bild 03 dargestellt, unterschiedliche Betriebspunkte unterschieden. Die Berechnung des Betriebspunkt 0 erfolgt immer kraftgesteuert und bestimmt die relative Position des Innen- zum Außenrings für die spielfreie Einbausituation als Ausgangszustand. Im Fall eines Spindellagers wird die Verlagerung aufgrund des Presssitz auf der Welle berücksichtigt. Die Vorspannkraft ist 0 N. Bei Betriebspunkt 1 wird die Vorspannkraft bzw. der Vorspannweg aufgebracht. Im Betriebspunkt 2 werden erstmals Temperatur- und Drehzahleinflüsse berücksichtigt. Bei kraftgesteuerter Berechnung kommt es aufgrund der veränderten Geometrie der Lagerringe und Wälzkörper sowie der wirkenden Fliehkraft bei Spindellagern zu einer Verschiebung des Innenrings, der sogenannten kinematischen Verlagerung. Im letzten Betriebspunkt werden die äußeren Lasten als Kraft oder Weg aufgebracht. Nach der Berechnung liegen die Ergebnisse für jeden Betriebspunkt einzeln vor. Dies sind neben der Steifigkeitsmatrix insbesondere die in den Kontaktstellen wirkenden Bedingungen. Die Steifigkeitsmatrix beinhaltet in der Hauptdiagonalen die Steifigkeiten für drei translatorische und zwei rotatorische (Verkippung) Freiheitsgrade sowie die entsprechenden Kreuzsteifigkeiten. Der Berechnungsablauf ist für alle Wälzlagertypen identisch, wobei bei den Iterationen unterschiedliche Freiheitsgrade berücksichtigt werden. Lediglich die Geometriedefinition, die Berechnung der Geometrieveränderung sowie der des Kräfte- und Momentengleichgewichts (Bild 01) ist lagerspezifisch. Auf diese Weise können im gleichen Berechnungsprogramm unterschiedlichste Lagertypen berücksichtigt werden. Weiterhin ist es möglich im lagerspezifischen Teil unterschiedliche Modelle, bspw. für die Berechnung der Reibung oder der Kontaktkräfte, zu implementieren. Auf diese Weise wurden neben Berechnungsmodellen für Spindellager solche für Mehrpunktlager (3-Punkt- und 4-Punkt-Lager), Zylinderrollenlager, FRB-Lager [BREC14] sowie Kegelrollenlager hinterlegt. BERECHNUNGSABLAUF DER GEKOPPELTEN BERECHNUNG Die gekoppelte Berechnung folgt dem in Bild 04 dargestellten Ablauf. Zunächst erfolgt die Systembeschreibung, bei der die Maße und Anordnung der Bauteile festgelegt sowie die Verbindungen zwischen den Bauteilen definiert werden. Daraufhin werden die Systemmatrizen des FE-Modell erstellt und in der Berechnung ein oder mehrere Berechnungsjobs nacheinander im Solver durchgeführt. Innerhalb eines Jobs wird die lineare Differenzialgleichung, welche das Gesamtmodell beschreibt, iterativ gelöst und in jedem Schritt die nichtlinearen Steifigkeiten aktualisiert. Dazu werden die aktuellen Knotenverlagerungen der Balken an den Lagerstellen ausgewertet, als Eingangsgrößen ans Lagermodell übergeben und die Steifigkeiten neu berechnet. Ergebnis sind die Eigenschaften der Lager und des Systems sowie das aktualisierte Gesamtmodell als Ausgangspunkt für den nächsten Job. Der detaillierte Ablauf der Berechnungen kann vereinfachend für eine rein statische Betrachtung erläutert werden. Dazu wird das Differenzialgleichungssystem wie folgt reduziert: 07 Berechnungsmodelle und Last-Verlagerungs-Kennlinien 08 Drehzahl- und Temperatureinfluss Ausgehend von der Systembeschreibung werden bei der Modellerstellung die Bauteile vernetzt. Es werden an jedem Bauteilabsatz sowie an den Positionen der Verbindungen Knoten erzeugt. Überschreitet der Abstand zweier Knoten einen Grenzwert werden zusätzliche Knoten eingefügt, sodass eine ausreichend feine Vernetzung vorliegt. Nun können für jeden Balken die Steifigkeiten der einzelnen Balkenelemente berechnet und zu den Steifigkeitsmatrizen für Bauteile [K Bi ] zusammengefasst werden. Diese werden zur Systemsteifigkeitsmatrix zusammengefasst, indem sie entlang der Hauptdiagonalen angeordnet werden. Die Steifigkeiten der Randbedingungen sind zunächst nicht in der Systemsteifigkeitsmatrix enthalten, da die nichtlinearen Lagermodelle in jedem Berechnungsschritt aktualisiert werden. Bei der Modellerstellung werden sie für den Ausgangszustand ohne Ver­ www.antriebstechnik.de antriebstechnik 2019/06 69

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