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antriebstechnik 6/2017

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1 01 T-Ersatzschaltbild

1 01 T-Ersatzschaltbild des Linearmotors 02 Vergleich des konventionellen und linearangetriebenen Bandfördersystems Vergleich des konventionellen und linearangetriebenen Bandfördersystems F Tischauflage F 2 F 1 U 1 I 1 U i Umlenktrommel Antriebstrommel F Tischauflage F 2 F 1 Umlenktrommel Linearmotor T-Ersatzschaltbild des Linearmotors R 1 jX 1σ jX‘ 2σ R‘ 2 /s jX 1h a) b) Infolge des durchlaufenden Gurts ist eine kleine Luftspaltlänge schwierig zu realisieren. Unter Berücksichtigung mechanischer Randbedingungen wird daher der Abstand zwischen beiden Linearstatoren mit δ = 3 mm (Bild 03a) festgelegt. Analytisches Modell des Linearmotors Für die optimale Auslegung wird das analytische Modell des Linearmotors erstellt. Wegen der Randeffekte gilt für jeden Strang eine andere Spannungsgleichung. Daraus folgen gegenüber dem rotierenden Motor unsymmetrische Ersatzschaltbilder der drei Stränge. Da beim hier untersuchten Linearmotor die Abweichungen der Gegenkomponente zu der Mitkomponente des Ständerstroms kleiner als 5 % und damit vernachlässigbar sind, wird trotz der Unsymmetrie das in Bild 02 dargestellte T-Ersatzschaltbild verwendet [1]. Da der Läufer des Linearmotors vollständig andersartig aufgebaut ist als der Läufer rotierender Motoren, können die herkömmlichen Berechnungsmethoden keine Anwendung finden. Die interessierenden Läuferkenngrößen müssen deshalb über das Luftspaltfeld der Maschine ermittelt werden [2]. In erster Näherung wird nur mit den Grundwellenfeldern gerechnet. Die Ersatzanordnung des Linearmotors und die prinzipielle Verteilung der Feldgrößen entlang der y-Richtung sind in Bild 03a und Bild 03b dargestellt. Die stromdurchflossenen Wicklungen bauen ein Ständerfeld im Luftspalt auf, dessen Induktion B 1 ist. In den Bereichen der Kupferfolien bewirken die vom Ständerfeld hervorgerufenen Wirbelströme ein Läuferfeld, dessen Induktion B 2 , und dessen Feldstärke H 2 ist. Es wird angenommen, dass die Feldgrößen nur Komponenten in z-Richtung haben. Das Streufeld im Randgebiet des Läufers wird vernachlässigt, wie die in Bild 03b dargestellte Induktionsverteilung von B 2 zeigt. Um die Schichtung in elektromagnetisch aktive und passive Zonen in einfacher Weise berücksichtigen zu können, denkt man sich den fiktiven Luftspalt δ‘‘ vollständig durch einen Ersatzläufer der Dicke δ‘‘ und der elektrischen Ersatzleitfähigkeit 03 03 a) Ersatzanordnung des Linearmotors; b) Prinzipielle Verteilung der Feldgrößen entlang der y-Richtung; c) Prinzipielle Strömungslinien im Läufer [2] a) Ersatzanordnung des Linearmotors b) Prinzipielle Verteilung der Feldgrößen entlang der y-Richtung c) Prinzipielle Strömungslinien im Läufer [2] ausgefüllt, wobei κ die Leitfähigkeit der Kupferfolie mit der Dicke d ist. Für die vorgegebene Geometrie erstellt man die Maxwell-Gleichungen. Daraus folgt die Differentialgleichung der magnetischen Felder im Luftspalt b L τ p b Fe b R x y d Wird die Ständerwicklung von Strom durchgeflossen, induziert das Luftspaltfeld in der Ständerwicklung die Spannung (Bild 02), die man mit der exakten Lösung der Feldgleichung (2) ermitteln kann. Dabei berechnet man die innere Impedanz Z i mit B 1 H 2 z δ y y a) Unter Berücksichtigung des Ersatzschaltbilds (Bild 02) ist diese Impedanz äquivalent zu dem Wert B 2 y G G x y b) Durch komplexe Umformungen lassen sich schließlich die Läufergrößen mit c) und 78 antriebstechnik 6/2017

DIREKTANTRIEBE berechnen [2]. Dabei ist τ p die Polteilung, b Fe die Eisenbreite (Bild 3a), μ 0 die magnetische Permeabilität des leeren Raums und ω 1 die synchrone Kreisfrequenz. Der numerische Läuferwiderstand r und die Streuziffer des Läufers σ 2 hängen nicht von den absoluten Maschinenabmessungen ab, sondern werden allein durch die Verhältnisse 04 bestimmt, wobei b R die Randbreite der Kupferfolie ist, wie Bild 03a zeigt. Die Ergebnisse sind in Bild 04 dargestellt. Die anderen Größen können mit konventionellen Methoden [3,4] berechnet werden. Im Gegensatz zum genuteten Läufer mit diskret verteilten Leitern induziert das Wanderfeld im Massivläufer Spannungen, die eine freie elektrische Strömung zur Folge haben. In Bild 03c sind die prinzipiellen Strömungslinien im Läufer dargestellt. Die elektrischen Strömungslinien weisen sowohl eine x-Komponente (G x ) als auch eine y-Komponente (G y ) auf. Einen Beitrag zur Kraftwirkung auf den Läufer in x-Richtung liefert nur die y-Komponente der Stromdichte. Es ist bekannt, dass die Amplitude der y-Komponente des Stroms zum Rand hin kleiner wird. Dieser Querrandeffekt wirkt sich auf die Größe der erzeugten Kraft aus. Bei großer Polteilung ist dieser Effekt deutlich größer. Um die Kraft genauer zu berechnen, sollte dieser Effekt berücksichtigt werden. Dabei wird ein Faktor k q eingeführt, der die Kraftverminderung durch den nicht geradlinigen Verlauf der Stromlinien in y-Richtung berücksichtigt. Er ist wiederum nicht von den absoluten Maschinenabmessungen sondern nur von den Verhältnissen β und λ abhängig. Gemäß [1] lässt sich dieser Faktor mit 05 04 Abhängigkeit des numerischen Läuferwiderstands r und der Streuziffer des Läufers σ 2 sowie des Faktors k q von den Verhältnissen β und λ 05 σ 2 k q Abhängigkeit des numerischen Läuferwiderstands r und der Streuziffer des Läufers σ 2 sowie des Faktors k q von den Verhältnissen β und λ 3,2 2,8 2,4 2 1,6 1,2 0,8 0,4 0 0,2 0,16 0,12 0,08 0,04 0 1 0,9 0,8 0,7 0,6 β=0 β=0,2 β=0,4 β=0,6 β=0,8 β=1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ersatzschaltbild unter Berücksichtigung der Ober- und Unterwellenkräfte [3] Ersatzschaltbild unter Berücksichtigung der Ober- und Unterwellenkräfte [3] λ jX‘ 2σ, v I‘ 2, v R‘ 2, v /s v jX 1h,v jX‘ 2σ I‘ 2 R‘ 2 /s jX 1h berechnen. Bild 04 zeigt die Abhängigkeit des Faktors k q von den Verhältnissen β und λ. Zur Berücksichtigung des Querrandeffektes muss die berechnete Vorschubkraft mit dem Faktor k q multipliziert werden. Aufgrund der einfachen Fertigung wird die Ständerwicklung als Zahnspulenwicklung ausgeführt. Bei hochpoliger Ausführungen ist der Ober- und Unterwellenfeldgehalt der Hauptinduktivität relativ groß, was sich deutlich negativ im Betriebsverhalten des Motors auswirken kann. Um das Betriebsverhalten genauer zu berechnen, wird im Folgenden das klassische analytische Modell unter Berücksichtigung der Ober- und Unterwellenfelder erweitert [3]. In Bild 05 ist das erweiterte Ersatzschaltbild dargestellt. Dabei wurde die Ständerreaktanz aufgelöst in die Streureaktanz X 1σNSt , die den Streufeldern im Nut-, Wicklungskopfraum zugeordnet ist, und eine Folge von Reaktanzen X 1h,ν , die den einzelnen Ober- oder Unterwellenfeldern zugeordnet sind. Dabei steht ν für die Ordnungszahl der Ober- oder Unterwelle. Die Wellen mit den Ordnungszahlen 0 < ν < 1 werden als Unterwellen, und diejenigen mit ν > 1 als Oberwellen bezeichnet [5]. Analog zum Grundwellenfeld induzieren die Ober- oder Unterwellenfelder mit den Ordnungszahlen ν die Läuferströme I‘ 2,ν , für die je eine entsprechende Masche dargestellt wurde. Man erhält X 1h,ν mit konventionellen Methoden. Die Spektren der bezogenen Hauptreaktanzen sind in Bild 06 für verschiedene Polpaarzahlen in Abhängigkeit des Produktes aus Polpaarzahl p und Ordnungszahl ν dargestellt. Die Läufergrößen R‘ 2,ν , antriebstechnik 6/2017 79

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