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antriebstechnik 4/2017

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04 Beispielhafte

04 Beispielhafte Verteilung der Auslegungspunkte für ein Gain-Scheduling mit 9 (3 × 3) rechteckigen Gebieten 05 Maximale Überhöhung des Amplitudengangs ohne zusätzlicher Regelung für die Auslegungspunkte (rot markiert) mit interpolierten Zwischenwerten [BREC16] 06 Maximale Auslegungspunkte (rot markiert) mit interpolierten Zwischenwerten gesucht. Dabei sind die Parameter a 0..n und b 0..m durch ein Identifikationsverfahren zu bestimmen, wobei die Ordnungen des Nennerpolynoms n und Zählerpolynoms m zwei Freiheitsgrade mit großem Einfluss auf die Modellqualität in den Identifikationsverfahren darstellen. Im Anwendungsfall konnten die Parameter mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate bestimmt werden, wobei eine Ordnung des Nennerpolynoms und des Zählerpolynoms jeweils zehn zufriedenstellende Ergebnisse liefert. Die Methode basiert darauf, einen minimalen Fehler zwischen gemessenem Frequenzgang H(ω k ) und modellierter Übertragungsfunktion summiert über alle gemessenen Frequenzen ω k zu erzielen. Optimale Regelung als Gain-Scheduling Ausgehend der linearen Modelle in Zustandsraumdarstellung für die einzelnen Auslegungspunkte kann jeweils ein optimaler Zustandsregler bestimmt werden. Der Regler ist dabei in einen externen Lageistwertfilter integriert (siehe Bild 03). Dabei wird zur Regelung der beobachtete Zustand des Systems rückgeführt, um einen optimalen Reglereingriff zu erzeugen. Ein optimaler Reglereingriff ist definiert über eine Kostenfunktion, welche die Abweichungen der Zustände x von einer Ruhelage sowie den anfallenden Stellaufwand des Reglers bewertet. Als optimal wird eine Regelung angesehen, wenn die Kostenfunktion J einen minimalen Wert annimmt und damit ein optimales Verhalten der Zustände x in Bezug auf die nötigen Stellgrößen u erzielt wurde [UNBE07]. Der Vorteil der Methode ist einzelne Frequenzbereiche mit ω t gewichten zu können, sodass relevante und markante Frequenzbereiche stärker in die Parameteridentifikation einfließen. Aufgrund des vorgegebenen Lagereglertakts in der Steuerung von Werkzeugmaschinen soll im Folgenden die Reglerauslegung zeitdiskret erfolgen. Grundlage hierzu ist eine Transformation der kontinuierlichen Übertragungsfunktion in eine zeitdiskrete Darstellung. Die Transformation erfolgt dabei mittels Z-Transformation, weshalb die zeitdiskrete Übertragungsfunktion geschrieben werden kann als: Die Matrizen Q und R sind Gewichtungen, welche einzelne Zustände oder Stellgrößen in der Kostenfunktion hervorheben oder abschwächen. Im Weiteren werden Diagonalmatrizen verwendet, welche alle Zustände gleich gewichten. Das eigentliche Reglergesetz eines LQG-Reglers besteht aus einer Rückführungsmatrix F multipliziert mit einem geschätzten Zustandsvektor zum Zeitpunkt k, wobei die Zustände über einen Zustandsbeobachter geschätzt werden. Eine andere Schreibweise dieser Differenzengleichung ist die folgende Zustandsraumdarstellung Die Kostenfunktion kann unter Berücksichtigung des Reglergesetzes und der Rückführungsmatrix optimal gelöst werden mit welche Grundlage der folgenden optimalen Reglerauslegung ist. Eine Transformation der Übertragungsfunktion aus Gleichung 3 in Zustandsraumdarstellung kann über einen Parametervergleich erfolgen. Unter der Voraussetzung einer normierten Übertragungsfunktion mit a d,r = 1 können die Parameter der Matrizen ohne weitere Berechnung aus der Übertragungsfunktion übernommen werden: wobei die Matrix K die positiv definite Lösung der algebraischen Matrix-Riccati-Gleichung angibt [BRYS75]. Die Ordnung des Reglers ergibt sich somit aus der Modellordnung, wobei die Gewichtungsmatrizen Q und R als Diagonalmatrizen gewählt wurden. Das Gain-Scheduling schaltet dabei positionsabhängig zwischen diesen optimalen Reglern. Die Grenzen, an denen geschaltet wird, sind jeweils Geraden durch die Mitte zwischen den Auslegungspunkten (Bild 04). Um ein häufiges Schalten in der Nähe der Grenzen zu vermeiden, ist eine Hysterese eingebaut worden. Diese 120 antriebstechnik 4/2017

REGELTECHNIK 07 Bodediagramm für die Position (x/y) = (415/345) mm 07 08 08 Bodediagramm für die Position (x/y) = (150/650) mm zwischen zwei Auslegungspunkten bewirkt, dass bei einem Betrieb in der Nähe der Grenzen etwa die Einflüsse verrauschter Signale oder von Störgrößen keinen Einfluss auf das Umschalten der Regler haben. Für die Validierung sind die Auslegungspunkte der optimalen Regler bezüglich der Werkzeugposition zweier Achsen (x- und y- Achse) an einer Werkzeugmaschine gewählt. Für die praktische Umsetzung der Regelung wurde der gesamte Arbeitsbereich der Werkzeugmaschine aufgrund empirischer Untersuchungen je Achse in sieben Abschnitte unterteilt. Der gesamte Arbeitsraum gliedert sich damit in 49 (7 × 7) rechteckige Gebiete. Die Auslegungspunkte der Regler wurden jeweils in die Mitte eines quadratischen Gebietes gelegt. Bei der Auslegung der Lageregler müssen für jeden Auslegungspunkt jeweils ein optimaler Regler für jede Achse bestimmt werden. Die berechneten optimalen Regler der einzelnen Auslegungspunkte sind für das direkt umliegende Gebiet zuständig, wobei mit Verlassen des Gebietes die Zuständigkeit auf die entsprechenden Regler des benachbarten Gebietes geschaltet wird. Validierung Zur Reglerauslegung wurde bereits ein Verfahren zur Modellbildung des Maschinenverhaltens beschrieben. Auf Grundlagen der dazu nötigen Frequenzgangmessungen ist eine Übersicht über das Maschinenverhalten möglich. In Bild 05 ist das Maximum des Amplitudenganges ohne zusätzlichen Regler bei einem K L -Faktor von 3,5 m/(mm × min) für die Auslegungspunkte dargestellt, wobei die Zwischenwerte über eine Spline-Interpolation genähert wurden. Deutlich zu erkennen ist das unterschiedliche Maschinenverhalten an den rot markierten Auslegungspunkten, welches ein Maximum zwischen 7,3 dB und 21,1 dB aufweist. Durch die optimalen Regler kann das Maximum in der Simulation für alle Auslegungspunkte auf unter 1 dB gesenkt werden. Anhand von Messungen an der realen Werkzeugmaschine konnten diese Ergebnisse bestätigt werden (Bild 06). In Bild 07 ist das gemessene Bodediagramm für einen Auslegungspunkt dargestellt. Zu erkennen ist das deutliche Maximum des Amplitudengangs ohne Regler und der Verlauf nahe 0 dB mit Regler. Durch den optimalen Regler ist im Frequenzbereich bis 22 Hz ein Amplitudengang nahe 0 dB erreicht, was die Anforderungen an den Lageregelkreis erfüllt. Für die praktische Relevanz des Verfahrens ist besonders der Betrieb zwischen den Auslegungspunkten interessant, da dort die Regelung nicht explizit auf das Maschinenverhalten ausgelegt ist. In Bild 08 ist das Bodediagramm einer Messung für die Position mit der höchsten maximalen Amplitude im Arbeitsraum dargestellt (siehe Punkt A in Bild 05). Für den Betrieb mit Regler ist ein Maximum im Amplitudengang von knapp 1 dB messbar. Somit kann auch außerhalb der Auslegungspunkte eine deutliche Verbesserung des Maschinenverhaltens erreicht werden. Fazit und Ausblick Es wurde ein Verfahren gezeigt, welches ein Betreiben von Werkzeugmaschinen bei erhöhtem Proportionalwert des Lagereglers und damit erhöhter Maschinendynamik ermöglicht. Grundlage dazu ist eine steuerungsexterne Hardware, auf welchem ein LQG- Regler im Gain-Scheduling integriert wurde. Die Effizienz des Verfahrens konnte durch Messungen an einer Werkzeugmaschine an und zwischen den Auslegungspunkten bestätigt werden. Durch das Verfahren ist im gesamten Arbeitsraum eine Verbesserung des Schwingungsverhaltens feststellbar. Als Nachteil muss derzeit noch eine verbleibende Überhöhung im Bodediagramm von unter 1 dB für einen Betrieb zwischen den Auslegungspunkten festgehalten werden. Diese resultiert aus der Änderung des Maschinenverhaltens zwischen den Auslegungspunkten. Weiter ist die Anzahl der nötigen Regler für eine zeiteffiziente Inbetriebnahme zu hoch. Eine Definition der Auslegungspunkte abhängig vom vorliegenden Maschinenverhalten bietet hierbei zukünftiges Verbesserungspotenzial. Literaturverzeichnis: [ABEL06] Abel, D.; Bollig, A.: Rapid Control Prototyping. Springer-Verlag, Heidelberg (u. a.), 2006 [BREC06] Brecher, C.; Weck, M.: Werkzeugmaschinen 3: Mechatronische Systeme, Vorschubantriebe, Prozessdiagnose. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2006 [BREC10] Schutzrecht DE102008031334A1 (07.01.2010). Brecher, C.; Hennes, N.; Mirbach, H.J.: Verfahren zur Dämpfung von Resonanzstellen mechanischer Antriebe, vorzugsweise Vorschubantriebe von Werkzeugmaschinen [BREC13] Brecher, C.; Gsell, S.; Lohse, W.: Schwingungsdämpfung in Werkzeugmaschinen. In: wt Werkstatttechnik Online 5 (2013), S. 388–394 [BREC16] Brecher, C.; Berners, T.; Obdenbusch, M.: Plattformunabhängige NC-Kernerweiterung. In: wt Werkstattstechnik online 106 (2016), S. 320-324 [FRIE15] Friedrich, D.: Steuerungsexterne Lageistwertfilterung in Vorschub-antrieben für Werkzeugmaschinen am Beispiel Kugelgewindetrieb. Dissertation, RWTH-Aachen, 2015 [ISER07] Isermann, R.: Mechatronische Systeme. Springer-Verlag, Heidelberg, 2007 [KERN04] Schutzrecht DE10301765A1 (29.07.2004). Kerner, N.; Lengenfelder, H.: Reglerstruktur zur aktiven Dämpfung niederfrequenter Schwingungen an numerisch gesteuerten Werkzeugmaschinen [KUEN03] Kuenzel, S.: Verfahren zur Dämpfung mechanischer Schwingungen von Achsen von Werkzeugmaschinen, Produktionsmaschinen oder Robotern. DE Patent 10246093 Nov. 2003 [LUNZ10] Lunze, J.: Regelungstechnik 2. 6. Auflage, Springer-Verlag, Heidelberg (u. a.), 2010 [NEUG11] Neugebauer, R.; Hofmann, S.; Hellmich, A.; Schlegel, H.: Parameter Identification and Controller Design for the Velocity Loop in Motion Control Systems. In: Intelligent Control and Automation, S. 251-257, 2011 [SEKL12] Sekler, P.: Modellbasierte Berechnung der Systemeigenschaften von Maschinenstrukturen auf der Steuerung. Universität Stuttgart, Institut für Steuerungstechnik und Werkzeugmaschinen, 2012 [STEM15] Stemmler, S.; Abel, D.; Adams, O.; Klocke, F.: Selbstoptimierende Produktionssysteme – Einsatz modellbasierter prädiktiver Regelung. In: atp edition 57 (11), S. 68-74, 2015 [UNBE07] Unbehauen, H.: Regelungstechnik II. Spinger-Verlag, Berlin Heidelberg (u. a.), 2007 [WECK06] Weck, M.; Brecher, C.: Werkzeugmaschinen 3. Mechatronische Systeme, Vorschubantriebe, Prozessdiagnose. Heidelberg: Springer-Verlag 2006 antriebstechnik 4/2017 121

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