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antriebstechnik 3/2018

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Übersetzungsverhältnisses i und des Teilkreisradius r des Ritzels lässt sich das Drehmoment M ZRA entsprechend Gl. (6) in die vom ZRA aufgebaute Gegenkraft F ZRA umrechnen. Die Verformung dx wird anhand der Differenz zwischen Motorund Tischposition x ZRA – x Tisch bestimmt. So wird nur die Verformung des Antriebsstrangs inklusive der Anschlusskonstruktion am Versuchsstand gemessen. Die Verläufe der durch den LDA erzeugten Kraft F LDA , der Gegenkraft F ZRA und der resultierenden Positionsänderungen der einzelnen Messsysteme von Schneeberger (sb) und Attocube (ac) sind in Bild 09 dargestellt. Die Kraft wird innerhalb von 50 s rampenförmig bis zu einem Maximalwert von ca. 7 230 N auf- und abgebaut. Anschließend wird sie in die andere Richtung auf- und abgebaut. Die Gegenkraft F ZRA wirkt entgegen der antreibenden Kraft F LDA und hält den Tisch in Ruhelage. Dies verdeutlicht der Positionsverlauf x ZRA . F ZRA ist kleiner als F LDA , da die Reibung im System einen Anteil der Kraft kompensiert. Für die Berechnung der Steifigkeit wird F ZRA verwendet, da diese Kraft eine direktere Verformung des Antriebsstrangs verursacht als F LDA . Bild 10 zeigt die Verformungen des einzelnen ZRA in Abhängigkeit von der Kraft, die der Motor zum Halten der Ruhelage erzeugt. Es sind die Kurven für alle vier am Maschinentisch verbauten direkten Messsysteme gezeigt. Die Messung von x sb,1 zeigt die geringste Verformung und somit die höchste Steifigkeit. Dies ist plausibel, da das zugehörige Messsystem direkt neben dem Ritzel angebracht ist. Die anderen Messsysteme sind im Kraftfluss weiter von der Eingriffsstelle Ritzel-Zahnstange entfernt, sodass die Messung durch zusätzliche Verformung der Mechanik beeinflusst wird. Für die Auswertung der Steifigkeit wird daher auf die Messungen von x sb,1 zurückgegriffen und die Steifigkeit im Bereich von 70 bis 100 % der maximalen Kraft bestimmt. Hier ist der Kurvenverlauf nahezu li near. Bei niedriger Belastung ist der Gradient und somit die Verformung pro Kraft größer, da zwischen Lagerlaufbahnen und Wälzkörpern sowie zwischen den Zahnflanken der Verzahnungsteile erst bei höherer Kraft ein optimales Tragbild ausgebildet wird und Reibungseffekte an Einfluss verlieren. Der ZRA mit RP+-Getriebe zeichnet sich durch ein nahezu richtungsunabhängiges Steifigkeitsverhalten ohne einen Steifigkeitssprung bei Richtungsumkehr aus. Die statische Steifigkeit des einzelnen, am Versuchsstand montierten ZRA und der ihn umgebenden Anschlusskonstruktion des Prüfstandes beträgt ca. 84,5 N/µm. Die statische Gesamtsteifigkeit des elektrisch verspannten ZRA ist doppelt so groß, da zwei Antriebsstränge parallel angeordnet sind und somit doppelten Widerstand gegen Verformung leisten. Der Betrag der elektrischen Verspannung hat keinen Einfluss auf den Betrag der Steifigkeit. Allerdings verändert er den Verlauf bei Richtungsumkehr. Näheres dazu ist in [10] beschrieben. Die dynamische Steifigkeit beschreibt die frequenzabhängige Steifigkeit des Systems, d. h. die Steifigkeit bei einer bestimmten Frequenz. Der Kehrwert der dynamischen Steifigkeit lässt sich im 02 Charakteristische Größen der Frequenzgangmessung Konfiguration Belastung charakt. Eigenfrequenz [Hz] dynamische Steifigkeit [N/μm] ω 0,N ω 0,M k(ω 0,N ) k(ω 0,M ) einzelner ZRA leicht 61 50 44,3 41,4 schwer 58 33 68,8 43,3 elektr. ver- leicht 100 89 139 131 spannter ZRA schwer 74 60 148 143 so genannten Nachgiebigkeitsfrequenzgang G N (jω) darstellen. Für den von einem einzelnen ZRA angetriebenen Maschinentisch lässt sich dieser aus der systemtheoretischen Beschreibung eines 2-Massen-Schwingers herleiten. Gl. (7) beschreibt die Nachgiebigkeitsübertragungsfunktion G N (s). Neben den Positionen der beiden Massen x ZRA und x Tisch und der anregenden Kraft F enthält diese das Übersetzungsverhältnis i des Getriebes, den Teilkreisradius r des Ritzels, die Federsteifigkeit k, die Dämpfungskonstante d sowie die Tischmasse m Tisch und das massenäquivalente Trägheitsmoment J ZRA des ZRA. Anhand der Übertragungsfunktion kann die Eigenfrequenz ω 0,N entsprechend Gl. (8) berechnet werden. Die Eigenfrequenz ω 0,N gibt die Frequenz der größten Nachgiebigkeit bzw. der geringsten Steifigkeit an. Neben G N (jω) kann auch der Zusammenhang zwischen den Positionen, der so genannte Mechanikfrequenzgang G M (jω), betrachtet werden. Dieser lässt sich anhand der in Gl. (9) dargestellten Übertragungsfunktion G M (s) berechnen. Die für G M (s) geltende Eigenfrequenz ω 0,M wird anhand von Gl. (10) berechnet. Der Mechanikfrequenzgang erlaubt zwar keine direkte Aussage über die Steifigkeit. Für die Erzeugung des Frequenzgangs wird die Messung der Antriebskraft, die einer gewissen Ungenauigkeit unterliegt, allerdings nicht benötigt. Die Messung der Frequenzgänge erfolgt, indem das System mit einem PRBS-Rauschen plus Offset angeregt wird. Dieses Signal regt alle Frequenzen im betrachteten Spektrum mit der gleichen Leistungsdichte an. Das Offset verhindert eine Beeinflussung der Messung durch die Umkehrspanne. Die aufgezeichneten Signale werden mittels Fourier-Transforma tion in Frequenzspektren umgerechnet, anhand derer sich die Übertragungsfunktionen berechnen lassen. Aus den Übertragungsfunktionen wird der Amplituden- und der Phasengang bestimmt. Es ergeben sich die in Bild 11 dargestellten Frequenzgänge des einzelnen ZRA und die in Bild 12 dargestellten Frequenzgänge des elektrisch verspannten ZRA, jeweils mit und ohne zusätzlichem Gewicht von 500 kg. Die Verspannung beträgt 40 % des Nennmoments der eingesetzten Motoren. Die Abhängigkeit des Frequenzverhaltens vom Betrag der Verspannung wurde bereits in [10] untersucht. Tabelle 02 zeigt die aus den Frequenzgängen abgeleiteten charakteristischen Größen für den einzelnen und den elektrisch verspannten ZRA mit und ohne zusätzlichem Gewicht von 500 kg. Die charakteristischen Eigenfrequenzen lassen sich aus den Phasenverläufen bei einer Phasendifferenz von 90° ablesen. Die Eigenfrequenzen zeigen die Resonanz des Systems und somit die geringsten (9) (10) 56 antriebstechnik 3/2018

Verformung [µm] Kraft [kN] x ZRA – x Tisch [µm] LINEARTECHNIK dynamischen Steifigkeiten. Die Eigenfrequenzen für Nachgiebigkeits- und Mechanikfrequenzgang unterscheiden sich, da es sich um verschiedene Eigenmoden bzw. Schwingungsformen des Systems handelt. Wird das System als 2-Massen-Schwinger betrachtet, beschreibt ω 0,M die Frequenz, bei der nur die angehängte Tischmasse m Tisch schwingt, während die Motorwelle nahezu stillsteht. Die Frequenz ω 0,N beschreibt den Zustand, bei dem beide Massen gegeneinander schwingen. Anhand dieser Eigenfrequenzen, der Masse und des Trägheitsmoments des Antriebssystems lassen sich die frequenz abhängigen Steifigkeiten des Systems über die Gl. (8) und (10) berechnen. Bei der Berechnung der Steifigkeiten des elektrisch verspannten ZRA muss das Trägheitsmoment J ZRA verdoppelt werden, da zwei Antriebe verbaut sind. Theoretisch müssen sich je Konfiguration (d. h. einzelner ZRA und elektrisch verspannter ZRA), unabhängig von der Belastung, die gleichen Steifigkeiten k(ω 0,N ) und k(ω 0,M ) ergeben. Die anhand von ω 0,M berechneten Steifigkeiten k(ω 0,M ) passen in guter Näherung zusammen. Der einzelne ZRA zeigt eine geringere Steifigkeit k(ω 0,M ) als der elektrisch verspannte ZRA. Dies ist plausibel, da bei der elektrischen Verspannung, wie bereits erwähnt, zwei Antriebe eingesetzt werden. Die geringen Abweichungen der Steifigkeiten k(ω 0,M ) aufgrund des Gewichts lassen sich anhand der nichtlinearen Verläufe der Messkurven für die statische Steifigkeit erklären. Die für die Messung der Frequenzgänge genutzte Anregungskraft liegt im Bereich von 0 bis 2 000 N, wobei die Anregungskraft bei Messungen mit Gewicht höher ist, um die gleiche Auslenkungsamplitude der Geschwindigkeit zu erreichen. Die Steifigkeit nimmt mit anwachsender Anregungskraft zu (Abflachung der Kurve). Dies erklärt die etwas höheren Steifigkeiten für die Messungen mit Gewicht im Gegensatz zu den Messungen ohne Gewicht. Außerdem erklärt dies auch die allgemein geringeren Steifigkeiten im Vergleich zur statisch bestimmten Steifigkeit von 84,5 N/µm. Diese wurde bei deutlich höheren Kräften bestimmt, bei denen ein linearer Zusammenhang zwischen Kraftzunahme und Verformung besteht. Die anhand von ω 0,N berechneten Steifigkeiten k(ω 0,N ) passen, bis auf den Ausreißer 68,8 N/µm, zu den Steifigkeiten k(ω 0,M ). Zusammenfassung und Ausblick Die vorgestellten Untersuchungen zeigen, dass die erreichbare Positioniergenauigkeit (hier 69 µm) eines einzelnen ZRA hauptsächlich durch die Umkehrspanne im Antriebsstrang begrenzt ist. Anhand der hier gezeigten Methode zur Kompensation der geometrischen und messtechnischen Abweichungen durch Anpassung der Lagesollwerte kann diese Genauigkeit auch ohne ein direktes Messsystem erreicht werden. In High-Performance-Werkzeugmaschinen ist der Einsatz eines elektrisch verspannten ZRA sinnvoll, da dieser für eine maximale Reduzierung der Umkehrspanne sorgt und somit eine deutlich höhere Positioniergenauigkeit (hier 7 µm) erreicht. Diese Positioniergenauigkeit kann ebenfalls ohne den Einsatz eines direkten Messsystems erreicht werden. In diesem Fall hängt sie, neben der im Artikel genannten Reibungsumkehrspanne, hauptsächlich von der Steifigkeit des Antriebsstranges ab. Diese definiert eine durch Stör- und Bearbeitungskräfte verursachte Positionsabweichung, die ohne ein direktes Messsystem nicht kompensiert werden kann. Die durch Stör- und Bearbeitungskräfte verursachte Positionsabweichung wird in diesem Artikel nicht gezeigt, kann aber anhand von Gl. (5) abgeschätzt werden. Durch den Einsatz eines elektrisch verspannten ZRA wird allerdings eine Verdoppelung der statischen Steifigkeit erreicht, sodass der Einfluss auf die Positioniergenauigkeit abnimmt. Durch Verspannung wird weiterhin eine Erhöhung der mechanischen Eigenfrequenz und somit eine Steigerung der erreichbaren Regler-Performance erzielt. Die Eigenschaften der Zahnstange-Ritzel-Antriebssysteme von Wittenstein Alpha können für den jeweiligen Anwendungsfall durch Variation des Ritzeldurchmessers entsprechend Bild 13 hinsichtlich Vorschubkraft, Vorschubgeschwindigkeit und linearer 08 09 Position [µm] 10 Verformung [µm] 10 0 -10 0 20 40 60 80 100 100 0 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Position [m] Signalverlauf zur Bestimmung der statischen Steifigkeit Zeit [s] -100 0 20 40 60 80 100 100 100 80 80 60 60 40 40 20 20 -20 -40 -60 -80 Positioniergenauigkeit des elektrisch verspannten ZRA mit Abweichungskompensation 0 0 -20 -40 -60 -80 7 µm Zeit [s] Steifigkeit des einzelnen ZRA 6 µm x ZRA x sb,1 x sb,2 x ac,1 x ac,1 Hinweg Rückweg -100 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 Kraft [N] -100 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 Kraft [N] F LDA F ZRA 8000 antriebstechnik 3/2018 57

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