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antriebstechnik 3/2017

antriebstechnik 3/2017

Antriebssystems eine

Antriebssystems eine optimale Drehmomentverteilung zu ermitteln und während des Betriebs auf die Optimierungsergebnisse zur Sollwerterzeugung für die Stromregelung der einzelnen Motoren zurückzugreifen. Kann jeder beliebige Arbeitspunkt energetisch optimal eingeregelt werden, so ist auch jede beliebige Abfolge quasistationärer Arbeitspunkte und damit ein beliebiger Arbeitsprozess energetisch optimal realisierbar. Als Zielfunktion wird die Verlustleistung des Antriebssystems verwendet. Eine Minimierung dieser ist äquivalent zur Maximierung der Energieeffizienz; numerisch jedoch weniger aufwendig und stabiler. Unter den getroffenen Annahmen kann die Verlustleistung eines MMDS mit n Motoren durch Gleichung (6) approximiert werden (Parameterdefinition siehe Formelzeichenverzeichnis): punkt vor, in dem alle Motoren mit einem Drehmoment unterhalb ihres Nenndrehmoments betrieben werden. Die Drehmomentverteilungskoeffizienten ergeben sich dann aus den KKT-Bedingungen zu: Die Drehmomentverteilungskoeffizienten sind nach Gleichung (8) konstant und eindeutig durch die Motorparameter definiert. Diese Lösung behält ihre Gültigkeit bis zu einem Grenzarbeitspunktdrehmoment T ab,grenz , ab welchem einer der Motoren sein Nenndrehmoment erreicht und somit seine maximal zulässige Belastung erfährt. Mit den bekannten Drehmomentverteilungskoeffizienten kann dieses Grenzdrehmoment aus den Ungleichungsnebenbedingungen mittels Gleichung (9) berechnet werden: Diese Gleichung repräsentiert die Kupferverluste der ASM und ist aufgrund der Vernachlässigung der Eisenverluste unabhängig von der Drehzahl. Die Größen und wurden zur vereinfachten Darstellung der Terme eingeführt. Der Freiheitsgrad der Drehmomentverteilung ist durch die Drehmomentverteilungskoeffizienten α i repräsentiert, welche das Abtriebsdrehmoment T ab des MMDS auf die einzelnen Motoren aufteilen. Um zulässige Lösungen zu ermitteln, müssen physikalisch motivierte Randbedingungen eingehalten werden. So ist einerseits zu garantieren, dass durch die Addition der Motordrehmomente der gesamte Arbeitsprozessbedarf gedeckt wird. Die Summe aller Drehmomentverteilungskoeffizienten muss daher stets eins betragen. Andererseits darf keiner der Motoren über sein Nenndrehmoment hinaus oder generatorsich belastet werden. Das Produkt aus Drehmomentverteilungskoeffizient und Arbeitsprozessdrehmoment muss demnach stets kleiner oder gleich dem jeweiligen Motornenndrehmoment T nenn,i aber größer oder gleich null sein. Unter Berücksichtigung dieser Randbedingungen kann das Optimierungsproblem für einen spezifischen Arbeitspunkt des Antriebssystems mit konstant angenommenem Abtriebsdrehmoment wie folgt definiert werden [SZ16]: Das Optimierungsproblem (7) stellt ein quadratisches Programm (QP) unter rein linearen Gleichungs- und Ungleichungsrestriktionen dar. Aufgrund der quadratischen Zielfunktion sowie der Tatsache, dass die Motorparameter in Gleichung (6) stets reell, positiv und größer null sind, liegt sogar ein strikt konvexes QP vor. Unter diesen Voraussetzungen existiert ein eindeutig bestimmter Optimalpunkt und die Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Bedingungen stellen sowohl ein notwendiges als auch ein hinreichendes Optimalitätskriterium dar [Alt11; Ben03; GK02; PBH13]. Sie können demnach verwendet werden, um eine analytisch geschlossene Lösung des Problems anzugeben. Bei Anwendung der KKT-Bedingungen auf das Optimierungsproblem (7) sind zwei Fälle zu unterscheiden. Im ersten Fall ist keine der Ungleichungsnebenbedingungen aktiv. Es liegt also ein Arbeits- Für alle Drehmomente T ab > T ab,grenz wird der entsprechende Motor konstant mit seinem Nenndrehmoment betrieben, um die Einhaltung der Ungleichungsnebenbedingungen sicherzustellen. Die anderen Motoren des MMDS teilen sich den verbleibenden Anteil des Abtriebsdrehmoments untereinander auf. Durch die Aktivierung einer Ungleichungsnebenbedingung verlieren die Drehmomentverteilungskoeffizienten allerdings ihren konstanten Charakter und werden zu Veränderlichen des Arbeitspunktdrehmoments, womit Gleichung (8) nicht mehr anwendbar ist. Diese Situation kennzeichnet den Gültigkeitsbereich des zweiten Falls. Um das Optimierungsproblems (7) in diesem vollständig zu lösen, müsste der verbleibende Nenndrehmomentbereich des Antriebssystems ausreichend fein diskretisiert und für jeden diskreten Arbeitspunkt – gekennzeichnet durch ein konstantes T ab – eine optimale Drehmomentverteilung unter Berücksichtigung der aktiven Nebenbedingungen angeben werden. Dieses Vorgehen ist jedoch zeit- und rechenintensiv, sodass eine Alternativlösung durch Ausnutzung der Problemstruktur zu einer numerisch effizienteren Lösung führt. Die Optimierung wird gedanklich für ein mit i = 1,…,n gestartet. Für diese Situation kann garantiert werden, dass kein Motor an der Nenndrehmomentgrenze betrieben wird und Gleichung (8) uneingeschränkte Gültigkeit besitzt. Es liegt somit der erste Fall vor. Mit den durch Gleichung (8) beschriebenen Drehmomentverteilungskoeffizienten kann mittels Gleichung (9) das Grenzarbeitspunktdrehmoment T ab,grenz bestimmt werden, welches das Ende des Gültigkeitsbereichs von Gleichung (8) darstellt. Anstatt an dieser Stelle für Drehmomente oberhalb des Grenzdrehmoments den variablen Charakter der Drehmomentverteilungskoeffizienten durch eine Diskretisierung des Optimierungsproblems zu berücksichtigen, wird ein reduziertes Problem formuliert. Der vollständig ausgelastete Motor wird gedanklich aus dem MMDS entfernt, da sein Drehmomentanteil am gesamten Arbeitspunktdrehmoment für alle T ab > T ab,grenz bekannt ist. Somit wird ein virtuelles MMDS erzeugt, welches nur noch n–1 Motoren besitzt. Diese dürfen allerdings nicht mehr mit ihrem Nenndrehmoment belastet werden, sondern nur noch mit dem Differenzdrehmoment zwischen ihrem physikalischen Nenndrehmoment und der bei Erreichen des Grenzarbeitspunktdrehmoments vorliegenden Belastung. Dieses Differenzdrehmoment wird als virtuelles Nenndrehmoment der Motoren bezeichnet. Das virtuelle MMDS stellt nun ein System aus n–1 Motoren mit inaktiven Ungleichungsnebenbedingungen dar. Folglich ist Gleichung (8) wiederum gültig, bis das virtuelle MMDS sein Grenzarbeitspunktdrehmoment und einer der Motoren sein virtuelles Nenndrehmoment erreicht. Sobald diese Situation vorliegt, wird 76 antriebstechnik 3/2017

MEHRMOTORANTRIEBSSYSTEME 03 Drehzahl- und Drehmomentverlauf eines exemplarischen Mischprozesses in einem Kautschukinnenmischer 04 oben: Verlustleistungen des Prüfstand-MMDS und optimale Schaltzustandsauswahl; unten: Wirkungsgrade des Prüfstand-MMDS für unterschiedliche Betriebsmodi erneut ein reduziertes Problem definiert, bis schließlich nur noch ein einzelner Motor im virtuellen MMDS existiert. Dieser erhält dann den Drehmomentverteilungskoeffizienten α i = 1 im verbleibenden Nenndrehmomentbereich des Antriebssystems. Die vorgestellten Überlegungen führen zu einer rekursiven Berechnungsvorschrift, welche ausschließlich n–1 Lösungen des Problems (7) mittels Gleichung (8) erfordert und in ihren Grundzügen den weit verbreiteten Aktive-Menge-Algorithmen (engl. active set algorithms) ähnelt [GK02]. Der rechts abgebildete Pseudocode stellt den Algorithmus in vereinfachter Form dar (fettgedruckte Variablen kennzeichnen vektorielle Werte). Mit Hilfe des angegebenen Algorithmus kann das Optimierungsproblem (7) über dem gesamten Nenndrehmomentbereich des Antriebssystems effizient und schnell gelöst werden. Die Implementierung der Umrechnung der Teilergebnisse der reduzierten Probleme auf die Gesamtausgabe des Algorithmus ist abhängig von der Art der späteren Ergebnisverwendung. Eine Möglichkeit besteht darin, die Gesamtausgabe in Form eines Arrays zu realisieren, wobei die Drehmomentverteilungskoeffizienten vollständig ausgelasteter Motoren durch negative Zahlen gekennzeichnet werden. Dieses Array kann dann in einer Schleife durchlaufen werden, um für eine gewünschte Diskretisierung die Drehmomentmetverteilungskoeffizienten eines jeden Motors zur Verwendung in einer Look-Up-Table zu generieren. Somit liegt eine Möglichkeit vor, die Drehmomentverteilungskoeffizienten numerisch effizient zu berechnen und auf dieser Basis die Motoren des MMDS in jedem Arbeitspunkt mit einer minimalen Verlustleistung zu betreiben. Betriebsfreiheitsgrad der elektrischen Rekonfigurierbarkeit Während eines leistungsvariablen Arbeitsprozesses können Betriebssituationen auftreten, in denen nur ein geringer Teil des Rekursiver Algorithmus zur Lösung des Optimierungsproblems (7): OptAlg(γ,T max ) INPUT: γ = Vektor der Gleichungsparameter (siehe Gleichung (6)) T max = Vektor der Motornenndrehmomente OUTPUT: Drehmomentverteilungskoeffizienten α i und zugehörige Gültigkeitsbereiche 1 n ←Anzahl der Elemente in γ / / Anzahl der Motoren im MMDS 2 if(n > 1) 3 f or (k = 1:n) 4 5 berechne: berechne: 6 end 7 T ab,grenz ← min(T ab,grenz,k ) ; k = 1,…,n 8 speichere α[] ← α k für k = 1,…,n für den Drehmomentbereich T ab ∈ [0, T ab,grenz ] 9 T max,red,k ← T max,k – T ab,grenz ⋅ α k ; k = 1,…,n / / virtuelle Nenndrehmomente 10 T max,red [] ← T max,red,k für k = alle 1,…,n ohne ausgelastete(n) Motor(en) 11 γ red [] ← γ ohne Werte des/der ausgelasteten Motors/Motoren 12 / / ggf. werden mehrere Motoren gleichzeitig ausgelastet 13 if (length(γ red ) > 0) 14 / / berechne α für den Drehmomentbereich T ab > T ab,grenz durch Rekursion; 15 / / vollständig ausgelastete(n) Motor(en) im reduzierten Problem nicht 16 / / mehr berücksichtigen (virtuelles MMDS) 17 α tmp ← OptAlg(γ red , T max,red ) / / reduziertes Problem lösen 18 erweitere α um α tmp und zugehörigen Drehmomentbereich 19 / / bei der Erweiterung der Ergebnisse ist eine Umrechnung der konstanten 20 / / Verteilungskoeffizienten des reduzierten Problems auf die 21 / / Koeffizienten des Ursprungsproblems erforderlich 22 end 23 else 24 / / nur ein Motor vorhanden im MMDS 25 speichere α[] ← 1 für den Drehmomentbereich bis T max 26 end 27 Ende der Berechnung und Rückgabe von α und zugehörigen Drehmomentberechnung antriebstechnik 3/2017 77

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