Aufrufe
vor 2 Jahren

antriebstechnik 3/2017

antriebstechnik 3/2017

Hierbei sind: M t :

Hierbei sind: M t : Torsionsmoment d nenn : Nenndurchmesser einer zylindrischen Welle mit zum M50- Profil identischem Flächeninhalt des Querschnitts a τ0/1 : Koeffizienten der maximalen Torsionsspannung 04 links: Nicht geeignete Abbildung nach Gln. (2a); rechts: Vollständig abgebildeter Wellenbereich des M50-Profils mit z = 6 Mitnehmern und einer bezogenen Exzentrizität ε = 2,3 ‰ und R m = 17,7766 mm nach Gln. (2b) 05 Numerisch und nach Gln. (3) ermittelte Verläufe der Torsionsspannung τ t über einem Mitnehmer des M50-Profils mit z = 6 sowie ε = 2,3 ‰, R m = 17,7766 mm und M t = 500 Nm z 4 6 8 10 ε [‰] 5,2 2,3 1,0 0,5 a τ 2,39481 2,42596 2,34116 2,27252 Tabelle 1: Koeffizienten a τ für das M50-Profil durch die Reduktion der bezogenen Exzentrizität ε erkennbar. Beide Profilvarianten weisen das Maximum bei x norm = 0,5 auf, d. h. im Mitnehmerfuß der Profilkontur (siehe Piktogramm im Bild 02). Die auf Grundlage dieser Vorgehensweise ermittelten Maximalspannungen ergaben in Abhängigkeit einer variablen bezogenen Exzentrizität ε sowie Mitnehmerzahl z (für die Profilvarianten aus Bild 01) klare Tendenzen, welche die Basis für das zu entwickelnde Berechnungsmodell bildeten. Dabei stellte sich für die maximale Torsionsspannung τ t,max ein linearer Zusammenhang zwischen dem Einfluss der bezogenen Exzentrizität ε und Mitnehmerzahl z heraus, dieser sich mittels der folgenden Gln. (1) beschreiben lässt. Der linke Teil von Gln. (1) liefert die Nennspannung. Die Einflüsse der bezogenen Exzentrizität ε sowie Mitnehmerzahl z sind im rechten Teil von Gln. (1) enthalten. Die Ermittlung der darin enthaltenen profiltypabhängigen Koeffizienten a τ0 sowie a τ1 soll anhand Bild 03 näher erläutert werden. Die Variation der bezogenen Exzentrizität ε bewirkt zunächst eine Erhöhung bzw. Reduktion der Formzahl α τ der Profilwelle, wie anhand der in Bild 03 links dargestellten Tendenz erkennbar. Die zur Bestimmung der Formzahl α τ erforderliche Nennspannung τ t,nenn wurde hierbei auf Grundlage einer zylindrischen Welle mit dem Nenndurchmesser d nenn berechnet. Zunächst wurde der Anstieg a 1 aus der linearen Regression dieser Tendenz für die untersuchten Mitnehmerzahlen, in Bild 03 am Beispiel für z = 6, bestimmt. Im Diagramm rechts werden die so ermittelten Anstiege für die im Rahmen dieser Arbeit untersuchten Mitnehmerzahlen z = 6, 8 und 10 dargestellt. Auch diese Tendenz in Abhängigkeit der Mitnehmerzahl z lässt sich wieder mittels linearer Regression beschreiben, womit die profiltypabhängigen Koeffizienten a τ0 sowie a τ1 für Gln. (1) entsprechend Bild 03 rechts bestimmt werden können. Analytische Methode durch Anwendung der konformen Abbildungen Die komplexe Elastizitätstheorie bietet mit Hilfe der konformen Abbildungen die genaue Formulierung und Herleitung geschlossener Lösungen für torsionsbelastete unrunde Profile, wenn die Abbildungsfunktion bekannt ist. Der Kernpunkt derartiger Lösungen besteht im Auffinden geeigneter Funktionen, welche den Innenbereich eines Kreises mit dem Radius eins auf dem Profilgebiet konform abbilden [6]. Für die M50-Profile kann keine vollständige „geeignete“ Abbildungsfunktion direkt aus den Parametergleichungen hergeleitet werden. Dies wird vor allem von den mehrfachen Polen in der komplexen Konturgleichung verursacht (Bild 04 links). Die aus den Parametergleichungen hergeleitete „unvollständige“ Abbildungsfunktion kann jedoch annähernd als eine Teilabbildung zur Ermittlung der Spannungen im Fußbereich eingesetzt werden. Diese Methode hat in vielen Fällen insbesondere bei den kleinen Exzentrizitätswerten eine gute Übereinstimmung mit den numerischen Ergebnissen gezeigt. Die hergeleiteten Gleichungen sind direkt von den Profilgleichungen abhängig und weisen die entsprechende Größe auf. Eine zweite Methode ist die sukzessive Näherungsweise nach [8]. Diese Methode stellt zwar eine größere Genauigkeit der Profilabbildung (Bild 04 rechts) und demzufolge eine geschlossene Lösung dar, die Gleichungen können jedoch so groß sein, dass eine Programmierung zur Ermittlung der Spannungen notwendig wird. Das Konvergenzverhalten dieser Methode kann für kleine Exzentrizitätswerte (bzw. für große Mitnehmerzahlen) für das untersuchte Profil mathematisch nachgewiesen werden [8]. Bei dem untersuchten M50-Profil mit z = 6 Mitnehmern und einer bezogenen Exzentrizität von ε = 2,3 ‰ ergibt sich die direkt aus den Parametergleichungen hergeleitete Abbildung entsprechend Gln. (2a), welche jedoch wie oben erwähnt nicht vollständig bzw. zum Einsatz in der Torsionstheorie ungeeignet ist (Bild 04 links). 68 antriebstechnik 3/2017

WELLE-NABE-VERBINDUNG 06 Vergleich zwischen der analytisch sowie numerisch bestimmten maximalen Torsionsspannung τ t,max für das M50-Profil, links: z = 6 und 8, rechts: z = 4 und 10 Tabelle 2: Gegenüberstellung und Abweichung der theoretischen von den experimentellen Werten für τ t,max DMS Berechnungsmodell ε = 2,3 ‰ ε = 8,9 ‰ ε = 2,3 ‰ ε = 8,9 ‰ M t [Nm] τ t,max [N/mm 2 ] τ t,max [N/mm 2 ] Abweichung τ t,max [N/mm 2 ] Abweichung 100 16,36 22,07 13,96 14,7 % 21,59 2,2 % 300 42,46 65,66 41,87 1,4 % 64,78 1,3 % 500 68,47 109,17 69,78 -1,9 % 107,96 1,1 % Die aus der sukzessiven Näherungsweise ermittelte Abbildung nach Gln. (2b) ist zwar größer, kann aber eine vollständige Abbildung erzeugen (Bild 04 rechts). Bild 05 stellt sowohl die nach Gln. (3) als auch die numerisch ermittelte Verteilung der Torsionsspannung τ t für einen Mitnehmer des M50-Profils dar. Hierbei ist die sehr gute Übereinstimmung beider Methoden ersichtlich. Die maximale Torsionsspannung τ t,max (bei θ = π/z) lässt sich hierbei wie folgt beschreiben: Basierend auf der komplexen Formulierung des Torsionsproblems (s. [6] und [9]) wurde die folgende Beziehung für die Torsionsspannung τ t bei z = 6 und ε = 2,3 ‰ hergeleitet. (3) wobei a τ die Abhängigkeit von einer oben genannten Formzahl α τ beschreibt. Die entsprechenden Werte für a τ sind aus Tabelle 1 für das M50-Profil und variable Mitnehmerzahlen z sowie bezogene Exzentrizitäten ε zu entnehmen. Bild 06 zeigt den Vergleich der mittels Gln. (4) berechneten mit der numerisch (FEM) bestimmten maximalen Torsionsspannung τ t,max für die M50-Profile mit variabler Mitnehmerzahl z für die Torsionsmomente M t = 100, 300 sowie 500 Nm. Alle Mitnehmerzahlen weisen hierbei eine sehr gute Übereinstimmung zwischen den jeweiligen Maximalwerten auf. Experimentelle Ermittlung der maximalen Torsionsspannung τ t,max Die Validierung der bisher gezeigten rein theoretisch bestimmten Werte erfolgte auf Basis von Dehnungsmessungen auf der Wellen- antriebstechnik 3/2017 69

Aktuelle Ausgabe

Aktuelle Ausgabe