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antriebstechnik 12/2016

antriebstechnik 12/2016

triebsrad ebenfalls um

triebsrad ebenfalls um ψ = 360° rotiert. Die Strategie für das Bewegungsdesign wird in Bild 05 dargestellt. Die Wälzkurve des Antriebsrades wird dazu in fünf Bereiche unterteilt. Der erste Bereich umfasst den abzubildenden Übersetzungsverlauf, der beispielsweise aus dem Schlupfverlauf im Zahnflankenkontakt entlang der Eingriffsstrecke resultieren kann. Zur Realisierung eines knickfreien Übersetzungsverlaufs wird dieser Bereich zunächst an beiden Seiten auf ein Maximum bzw. Minimum mit der Steigung Null geführt (Bereiche 2 und 5). Der Übergang zwischen den jeweiligen Bereichen wird durch die gleiche Übersetzung und die gleiche Steigung definiert. Dieser Schritt ist notwendig, um die Umkehrung des Übersetzungsverlaufs in einem definierten Bereich zu kontrollieren und lokal überhöhte Steigungen zu verhindern. Anschließend wird der dritte Bereich durch ein Polynom dritten Grades und der vierte Bereich als konstanter Wert definiert. Die Bereiche zwei bis fünf verbinden folglich die Enden des abzubildenden Bereichs und schließen damit den Übersetzungsverlauf. Die Bewertung der Knickfreiheit geschieht anhand der Übertragungsfunktion 0. bis 2. Ordnung, die allesamt einen stetigen Verlauf aufweisen sollten. Die Übertragungsfunktion 1. Ordnung ist wie folgt definiert = 1 ( i (ϕ) - Übersetzungsverlauf der Stirnradstufe ϕ(t) ° Antriebswinkel ψ'(ϕ) - Übertragungsfunktion erster Ordnung ψ(ϕ) ° Übertragungsfunktion nullter Ordnung Die Bedingung der mittleren Übersetzung von eins wird iterativ durch die Verschiebung der Bereichsgrenze zwischen dem dritten und vierten Bereich erfüllt. Ist für eine anfängliche Konfiguration des Übersetzungsverlaufs der berechnete Abtriebswinkel größer als ψ > 360°, wird der vierte Bereich und damit der Abschnitt mit einer Übersetzung kleiner als i < 1 reduziert, da an dieser Stelle das Abtriebsrad einen größeren Drehwinkel als das Antriebsrad zurücklegt. Gemäß dem Fall, dass der berechnete Abtriebswinkel nach der Berechnung kleiner als ψ < 360° ist, wird der vierte Bereich entsprechend vergrößert, bis die Bedingung ψ(φ = 360°) = 360° erfüllt ist. Nach der Definition der allgemeinen Wälzkurven werden die Grenzzähnezahl nach WYRWA und der Modul in Abhängigkeit der Länge der Wälzkurve bestimmt [WYRW01]. Da der Achsabstand der Stirnradstufe konstruktiv durch das bestehende Konzept des Zwei- Scheiben-Prüfstands vorgegeben wird, ergibt sich in der Regel ein nicht nach DIN 780 [DIN77] genormter Modul, was bei der Wahl des Fertigungsverfahrens zu berücksichtigen ist. Der Normaleingriffswinkel und die Breite der Verzahnung können im Rahmen der konstruktiven Randbedingungen beliebig gewählt werden. Insbesondere der Normaleingriffswinkel wird für die vorgesehene Anwendung möglichst groß gewählt (α n = 25°), um insbesondere die Zahnfußtragfähigkeit zu steigern. Die damit einhergehende höhere Schwingungsanregung ist für das Prüfkonzept aufgrund der Trennung von Übertragungsgetriebe- und Prüfgehäuse von untergeordneter Bedeutung. Anhand der Verzahnungskenngrößen wird die Zahnform der Zähne für das Unrundrad berechnet. Die Verzahnungsgeometrie hat dabei dem Verzahnungsgesetz zu folgen, d. h. die Zahnflankennormalen in jedem Berührpunkt müssen die Verbindungsgerade durch die Drehpunkte der Zahnräder im Wälzpunkt C schneiden [ROTH89]. Der Wälzpunkt hat anders als bei runden Stirnrädern keine feste Lage, sondern verschiebt sich je nach Drehwinkel der Unrundräder und Form der Wälzkurven. Prinzipiell ist jede Zahnform bzw. Verzahnungsart für Unrundräder denkbar, die dem Verzahnungsgesetz entspricht. Als praxisrelevante und abweichungsrobuste Verzahnung wird die Evolventenverzahnung genutzt [HIND98]. Das evolventische Profil der Zahnflanke wird auf Basis der sogenannten Grundkurven berechnet [HIND98]. Die Grundkurven sind die Einhüllenden von allen Geraden, die die Wälzkurve unter dem Eingriffswinkel α n schneiden. Die Grundkurven werden auch Evolutoiden genannt. In Analogie zum Grundkreis bei der theoretischen Erzeugung der Evolventen bei runden Zahnrädern wird die Evolvente bei Unrundrädern ebenfalls durch das Abwickeln der Evolutoiden erzeugt. Zur vollständigen Berechnung der Verzahnungsgeometrie, inkl. der Zahnfußkontur, des Zahnzwischenraums oder der Übergangsradien, wird das Vorgehen nach Hindersmann auf Basis des Verfahrens nach Camus verwendet [HIND98]. Die Zahngeometrie ergibt sich dann aus den unterschiedlichen Kurvenabschnitten, die durch die Berechnung ihrer Schnittpunkte begrenzt werden. Zu den Kurvenabschnitten zählen die Evolventenbahnen, die Kopf- und Fußkurven (Äquidistante zur Wälzkurve), sowie die Eckpunktbahnen, definiert durch die Eckenradien des Erzeugerprofils [HIND98]. Für den abschließenden Festigkeitsnachweis können Unrund- Zahnräder in einer beliebigen Wälzstellung als runde Stirnradverzahnungen betrachtet werden. Dabei werden für jede Wälzstellung die sogenannten momentanen Ersatzgetriebe gebildet. Momentane Ersatzgetriebe geben eine gute Näherung der Krümmungs-, Eingriffs- und Überdeckungsverhältnisse am realen Unrundrad wider. In Abhängigkeit der Krümmungen entlang der unrunden Wälzkurven ergibt sich entweder eine Stirnrad-Stirnrad-Paarung bei zwei konvex gekrümmten Abschnitten oder eine Hohlrad-Stirnrad-Paarung bei konvex konkav gekrümmten Wälzkurven, die für genormte Festigkeitsberechnungen für runde Stirnräder oder für Betrachtungen zu Eingriffsstörungen genutzt werden können [WYRW01]. Anwendung auf ein Verzahnungsbeispiel Die Vorgehensweise zur Definition der unrunden Verzahnungsgeometrie aus dem vorherigen Kapitel wird im Folgenden beispielhaft auf die standardisierte Prüfverzahnung nach Typ A angewendet [ISO10]. Die Berechnung des Schlupfs entlang der Eingriffsstrecke bzw. für die Wälzlänge des Ritzels wird in Bild 06 dargestellt. Die Wälzlänge ist in diesem Fall definiert als die Länge der aktiven Zahnflanke in Profilrichtung am Ritzel (l ges = 10,5 mm). Aufgrund der Profilverschiebung der Prüfverzahnung nach Typ A wird der Wälzpunkt bereits nach l = 1,2 mm erreicht. Aufbauend auf dem Zahnflankenschlupfverlauf wird der notwendige Übersetzungsverlauf des Übertragungsgetriebes im Zwei-Scheiben-Prüfstand berechnet. Für die Prüfscheiben wird ein gleicher Durchmesser vorausgesetzt. Um den Schlupfverlauf exakt nachbilden zu können, müssen Übersetzungen zwischen 0,66 < i < 6,96 mit dem Übertragungsgetriebe erreicht werden. Aufgrund der konstruktiven Randbedingungen des Prüfstands (Achsabstand a = 42 mm, Wellendurchmesser Lagersitz d = 12 mm) ist ein minimaler Wälzkreisdurchmesser d w,min = 13 mm möglich, woraus sich der Überset- 58 antriebstechnik 12/2016

GETRIEBE UND GETRIEBEMOTOREN 07 Übersetzungsverlauf und Verzahnungsgeometrie der unrund-verzahnten Stirnräder nach Übertragung des Schlupfverlaufs für das Ritzel Typ A zungsbereich von 0,45 < i < 2,23 ergibt, vgl. Bild 06. Die maximale Spanne des Schlupfbereichs beträgt damit 122 % < s 1 < 55 %, sodass der abzubildende Übersetzungsbereich für diese Vorgehensweise dadurch begrenzt und definiert wird. Neben den Grenzen für den Übersetzungsverlauf wird ebenfalls die Wälzlänge bzw. der Winkelbereich der Prüfscheibe bei der Übertragung auf den Zwei-Scheiben-Kontakt angepasst. Im Idealfall beträgt die Wälzlänge auf der Scheibe genau dem Betrag der Wälzlänge auf der Zahnflanke (l = 10,5 mm), was für den vorliegenden Scheibendurchmesser einem Winkelbereich von φ = 28° entspricht. Um große Gradienten im Übersetzungsverlauf und damit große Änderungen des Radius auf der Wälzkurve zu vermeiden, wird in diesem Fall die Wälzlänge um den Faktor 4 auf l = 42,0 (Winkelbereich Scheibe: φ = 112°) vergrößert. Insbesondere wird durch diese Modifikation neben einem größeren Modul (höhere Zahnfußsicherheiten) die Analyse der unterschiedlichen Schlupfverläufe entlang des Scheibenumfangs bei der Validierung erleichtert. Auf Grundlage des abzubildenden Schlupfbereichs wird die Wälzkurve durch die vorgestellte Vorgehensweise geschlossen. In Bild 07 werden der Übersetzungsverlauf und der Schlupf bezogen auf die Prüfscheibe über den Wälzwinkel der Prüfscheibe (Rad 1) dargestellt. Die vier Abschnitte des schließenden Bereichs erstrecken sich über φ = 248° und sind iterativ so berechnet, dass die mittlere Übersetzung der unrunden Zahnradstufe genau eins beträgt. Die Bereiche 2 und 5 vergrößern die Spanne zwischen minimalem und maximalem Schlupf noch, was zu einer genaueren Abbildung der ursprünglichen Schlupfverhältnisse an der Referenzprüfverzahnung Typ A führt. Trotzdem ist an dieser Stelle noch Optimierungspotential bei der Übertragung vorhanden. Die Makrogeometrie und die Kenngrößen der Verzahnung inkl. Zahnform werden auf der linken Seite in Bild 07 gezeigt. Zur Steigerung der Zahnfußtragfähigkeit werden der Modul und der Eingriffswinkel möglichst groß gewählt. Für die Übertragungsfunktion der 0. bis 2. Ordnung werden knickfreie und stetige Verläufe berechnet, sodass die Zahnform über den Umfang gleichmäßig und ohne entartete Zähne ausgebildet ist und damit keine erheblichen Einbußen bei der Tragfähigkeit der Verzahnungen zu erwarten sind. Mit der vorgestellten Auslegung für ein unrund-verzahntes Vergleichsgetriebe im Zwei-Scheiben-Tribometer können die Gleitverhältnisse entlang der Eingriffstrecke einer Verzahnung innerhalb der diskutierten Grenzen übertragen werden. Die Bereiche des stemmenden und ziehenden Gleitens im Zahnflankenkontakt können begrifflich nicht direkt übertragen werden, da es im Zwei- Scheiben-Prüfstand nicht zwischen treibendem und getriebenem Körper unterschieden wird. Der Übergang von negativen Schlupf, über reines Rollen hin zu positivem Schlupf entlang der Eingriffstrecke wird jedoch durch das unrund-verzahnte Übertragungsgetriebe sowohl in die eine als auch in die andere Richtung ermöglicht. Die verbleibenden Unterschiede für das Beispiel der Referenzprüfverzahnung Typ A liegen insbesondere beim Betrag des positiven Schlupfs, der durch die maximale Übersetzung des Übertragungsgetriebes begrenzt wird. Zudem bleiben bei diesem Konzept die bekannten Vereinfachungen des Zwei-Scheiben-Tribometers im Vergleich zum Zahneingriff bestehen, wie z. B. die konstanten Krümmungsradien und Kontaktpressungen über den Scheibenumfang. Innerhalb der konstruktiven Restriktionen werden die Gleitverhältnisse im Zahnflankenkontakt jedoch quantitativ übertragen. Validierung des Anwendungsbeispiels Die ausgelegten Unrundräder zur Abbildung der tribologischen Kontaktbedingungen der Prüfverzahnung Typ A werden zur Validierung im Zwei-Scheiben-Prüfstand eingesetzt. Das Ziel der Validierung ist die Erzeugung eines Fressschadens, der sich lokal über dem Scheibenumfang in Abhängigkeit der tribologischen Beanspruchung ausbildet. Auf diese Weise wird die Funktionalität der neuartigen Kinematik auf Basis eines unrund-verzahntes Übertragungsgetriebes geprüft. Zur Ermittlung der kritischen Belastung, bei der ein lokaler Fressschaden auftritt, wird die Hertz’sche Kontaktpressung schrittweise mit einem Stufensprung von Δp H = 150 MPa erhöht und nach jedem Belastungsintervall durch optische Inspektion das Eintreten des Schadens beurteilt. Der Startwert der Belastung von p H = 1 100 MPa entspricht dem typischen Einlaufwert der Prüf- und Gegenscheiben für den balligen Kontakt der WZL-Zwei-Scheiben-Prüfkörgeometrie [BUGI09, BAGH15, LÖ- PE15]. Die Antriebswelle bzw. die Prüfscheibe dreht mit n 1 = 1 500 min -1 , sodass die minimalen und maximalen Summengeschwindigkeiten der Prüfkörper möglichst nah an den auftretenden Summenge- antriebstechnik 12/2016 59

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