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antriebstechnik 12/2015

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01 Statisch belastete

01 Statisch belastete Welle 02 Turasantrieb (schematisch) Nach der Durchführung der Modalreduktion lautet die um 2∙k Moden reduzierte Systemgleichung wobei sich der um die NEMs reduzierte Zustandsvektor in Analogie zu (3.1) näherungsweise über ergibt. Obschon mit der beschriebenen Freiheitsgradreduktion eine erhebliche Verringerung der Rechenzeit einhergeht, ergeben sich bei der Anwendung der Modalreduktion zwei essentielle Problemstellungen, welche eine rigorose Anwendung des Verfahrens zunächst unterbinden. Zum einen ist der Einfluss von Eigenmoden auf das Systemverhalten im Allgemeinen nicht pauschal abschätzbar, sodass vom Anwender dieser Freiheitsgradreduktionsvariante ungewollt relevante Formen gestrichen werden können. Zum anderen werden die kinetischen Randbedingungen vom REM-Set lediglich ungenügend erfasst, [DK97, S. 15 ff.], [Hoe05, S. 69]. Speziell die mangelhafte Abbildung der Schnittlasten lässt sich bereits anhand einer Welle mit Fest-Los-Lagerung, an welcher symmetrisch zur Lagerung eine Querkraft angreift, demonstrieren, Bild 01. Die Verschiebung der Welle w(z) ist über die Verwendung der ersten Biegeeigenform bereits sehr gut approximiert, sodass zunächst von einer hohen Reduktionsgüte ausgegangen werden kann. Jedoch erfasst die Näherungslösung den Querkraftverlauf F Q (z) fehlerhaft, wobei die Lasten an den Schnittstellen, welche sich durch die Lagerlasten manifestieren, die höchsten Abweichungen verzeichnen. Wird ferner der allgemeine Fall einer nicht zentrisch angreifenden Last betrachtet, verschärft sich die Problematik der fehlerhaften Approximation, da hierbei selbst die Näherungslösung zum Verschiebungsverlauf w(z) ungenügende Ergebnisse liefert, sodass bereits mehr Eigenformen zur Verschiebungsapproximation erforderlich werden. Attachment Modes im Zustandsraum Um die Fehler, die sich bei der Auswahl von Eigenformen sowie der ungenügenden Abbildung von kinetischen Randbedingungen ergeben, zu verringern, wird das REM-Set nach (3.6) über residuale State- Space-Attachment-Modes (RAMs, Formen aus Einzelkräften [DK97, S. 11]) zu einem Extended-Eigenmode-Set (EEM-Set) erweitert: Ziel ist hierbei, dass über das ergänzende RAM-Set das Systemverhalten an den Komponentenschnittstellen verbessert wird, indem der Anteil der gestrichenen Eigenmoden, welcher für die richtige Abbildung des Randverhaltens notwendig ist, wieder in das reduzierte 72 antriebstechnik 12/2015

SCHWINGUNGSANALYSE Gleichungs-Set eingepflegt wird. Dabei erfolgt im ersten Schritt dieser Reproduktion eine Transformation der Zustandsgleichungen des Systems in den Unterraum der eliminierten Eigenformen mit , welches anschließend mit einer Last definierter Amplitude und Frequenz an der interessierenden Schnittstelle angeregt wird, (4.2). Die Transformationsmatrizen nach (4.6) lassen sich für die Koordinatentransformation nach (5.1) bereits anwenden, jedoch ergeben sich Vorteile während der Berechnung, wenn die ermittelten RAMs zu dem REM-Set und zusätzlich untereinander ausgerichtet werden, sodass weiterhin die Orthogonalitätsbedingung Mit dem Ansatz lässt sich anschließend der Beitrag der eliminierten Moden am Antwortverhalten des Systems im Modalraum über gilt. Da sich das RAM-Set aus dem NEM-Set, welches bereits angesichts (2.7) die Orthogonalitätsbedingung erfüllt, zusammensetzt, gilt zwangsläufig ermitteln. Mit der Rücktransformation Jedoch besitzt die Untermatrix nicht die gewünschte Diagonalform, sodass diese über eine weitere Eigenwertanalyse und einer anschließenden Normierung zu diagonalisieren ist, wobei die Entkopplung über ergeben sich die gesuchten Verschiebungsverhältnisse der Ortskoordinaten bei der Last F RAM (t) als Formvektor. Für jede Schnittstelle b sind die Links- und Rechts-RAMs nach (4.3) bis (4.5) zu ermitteln und ergänzen über (4.6) das REM-Set. erfolgt, [KF90]. Die Bedingung (4.8) bleibt davon unbeeinflusst, sodass mit 03 Drehzahlen im Zeitbereich und Frequenzbereich antriebstechnik 12/2015 73

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