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antriebstechnik 12/2015

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Freiheitsgradreduktion

Freiheitsgradreduktion von MKS-Modellen der Antriebstechnik Berthold Schlecht, Henry Graneß, Carsten Ulrich Zur Analyse und Optimierung des dynamischen Verhaltens von Antriebssystemen und Tragstrukturen wird sich der Mehrkörpersystem-Simulation bedient, wobei der Wunsch nach Modellen hoher Aussagekraft bei gleichzeitig geringer Rechenzeit einen allgegenwärtigen Zielkonflikt darstellt. Im Folgenden wird diesbezüglich ein Verfahren vorgestellt, mithilfe dessen sich die Rechenzeit von Mehrkörpersystemen bei gleich bleibender Aussagekraft geeignet reduzieren lässt. Prof. Dr.-Ing. Berthold Schlecht, Leiter des Lehrstuhls Maschinenelemente, Technische Universität Dresden Dipl.-Ing. Henry Graneß, Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Maschinenelemente, Technische Universität Dresden Dipl.-Ing. Carsten Ulrich, Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Maschinenelemente, Technische Universität Dresden Einleitung Schwingungserscheinungen in technischen Antriebssystemen, welche im Sinne der Betriebsfestigkeit zu einer Limitierung der Lebensdauer der Maschinenelemente führen, verlangen nach einer detaillierten und ganzheitlichen Systemanalyse, um Optimierungsmaßnahmen hinsichtlich der Schwingungsregulierung zu identifizieren. Prädestiniert zur Analyse von technischen Systemen ist die Mehrkörpersystem-Simulation, bei welcher Körper untereinander über Koppel- und Zwangsbedingungen in Beziehungen stehen und somit ein reales Gebilde als virtuelles Mehrkörper-Modell nachempfinden. Die Berücksichtigung von Körpern als elastische Strukturen sowie die Gewährung aller Bewegungsfreiheiten im Raum garantieren hierbei ein mechanisches Mehrkörpersystem höchsten Detaillierungsgrades. Obschon der hohe Detaillierungsgrad im A llgemeinen realitätsnahe Modelle sichert, bedarf die Simulation eines elastischen Mehrkörper-Modells – der hohen Anzahl an Freiheitsgraden verschuldet – oftmals mehrere Tage. Die Simulation verschiedener Betriebszustände im Sinne einer ganzheitlichen Systemanalyse ist somit sehr zeitintensiv und erschwert die Bestimmung von Schwingungsregulierungsmaßnahmen erheblich. Dahingehend ist, neben der Zielsetzung ein originalgetreues Abbild des Systems zu entwerfen, die Reduktion des Systemfreiheitsgrades zur effizienten Identifikation von Optimierungsmaßnahmen während des Modellbildungsprozesses obligat. Gleichzeitig soll das reduzierte Modell in definierten Betriebspunkten der Aussagekraft des komplexen Modells gleich kommen. In Anlehnung an die in [KC96] ausführlich beschriebene Rubin-Reduktionsmethodik, welche bei elastischen Strukturen Anwendung findet, wird im Folgenden ein Verfahren vorgestellt, mithilfe dessen sich komplette Mehrkörpersysteme reduzieren lassen, wobei dem Wunsch nach Rechenzeiteffizienz bei gleicher Ergebnisqualität im Vergleich zum Komplexmodell Rechnung getragen wird. Dieses Verfahren ist sowohl für freie als auch gefesselte Systeme geeignet und stützt sich auf die von gängigen Mehrkörpersystem-Programmen angewandte Zustandsraumbeschreibung. Die Systemstruktur und die Systemeigenschaften seien dabei zeitinvariant. Die Leistungsfähigkeit des Verfahrens wird abschließend anhand eines Antriebssystems demonstriert. 70 antriebstechnik 12/2015

SCHWINGUNGSANALYSE Zustandsraum, Eigenwertproblem und Orthogonalität Den Ausgangspunkt für die Methodik bildet das sogenannte Zustandsgleichungssystem der Zustandsvektor in den Raum der Rechts- respektive Linkshauptkoordinaten überführt werden, wobei im Folgenden primär der Raum der Rechtshauptkoordinaten betrachtet wird. Damit geht das Gleichungssystem (2.2) in zur Beschreibung von zeitinvarianten, nichtlinearen Systemen, wie sie häufig in der Antriebstechnik anzutreffen sind [Gip99, S. 65]. Dabei beschreibt den Systemzustand, die Ausgansgrößen, die eingeprägten Lasten und P die Systemparameter. Die Linearisierung des Gleichungssystems (3.1) liefert die allgemein bekannte Zustandsraumbeschreibung für mechanische Systeme mit und 2∙n als Menge der Systemzutände. Die Messmatrix L(P) und die Stellmatrix S T (P) sind hierbei Matrizen, welche Lasten und Ausgangsgrößen des Systems im Gleichungssystem berücksichtigen und somit im Allgemeinen booleschen Charakters sind. Im Folgenden wird auf die explizite Erwähnung der Parameterabhängigkeit der systembeschreibenden Matrizen verzichtet. Zu Formel 3.2 lässt sich über folgenden Ansatz das Eigenwertproblem formulieren, wobei sich aufgrund der Asymmetrie der Systemmatrix A zu jedem Eigenwert p (i) =λ (i) ein Linkseigenvektor und ein Rechtseigenvektor ermitteln lässt. Die Mengen aller Links- bzw. Rechtseigenvektoren können anschließend in der Links- respektive Rechtsmodalmatrix über über, [Gra13, S. 18]. Die Gleichungen des modaltransformierten Differentialgleichungssystems sind angesichts (2.7) entkoppelt, sodass sich die einzelnen Differentialgleichungen des Gleichungssystems (3.3) unabhängig voneinander behandeln lassen. Dies legitimiert gleichzeitig das Ausschließen einzelner Gleichungen aus dem Gleichungssatz ohne dabei die restlichen Gleichungen zu beeinflussen. Da jede Hauptkoordinate dem Eigenvektorpaar mit dem zugehörigen Eigenwert λ(i) zugeordnet ist, erfolgt das Streichen von Gleichungsanteilen bereits vor der Modaltransformation, indem die korrespondierenden Zeilen und Spalten der Modalmatrizen V R sowie V L , welche den jeweiligen Links- und Rechtseigenvektoren und entsprechen, vernachlässigt werden, [Gra13, S. 19 f.], [Loh10]. Somit wird das System um Eigenformen beraubt, wobei hierfür gezielt Eigenmoden ausgewählt werden können, welche auf das Systemverhalten keinen beziehungsweise lediglich einen geringen Einfluss haben. Da bei mechanischen Antriebssystemen die Anzahl der relevanten Eigenmoden im Vergleich zur Menge der irrelevanten Eigenmoden deutlich geringer ist, kann über das beschriebene Vorgehen eine erhebliche Reduktion des Systemfreiheitsgrades vorgenommen werden. Um stets die Energieinformationen einer Mode vollständig zu eliminieren, sodass das reduzierte Gleichungssystem weiterhin regulär bleibt, sind die Eigenformen respektive Eigenwerte stets konjugiert-komplex paarweise aus dem System zu streichen. Nach Separation der Eigenformen lassen sich die Modalmatrizen in die Anteile der verbliebenen Eigenmoden (REMs = Retained Eigenmodes), welche dem System nach der Modalreduktion erhalten bleiben, und der eliminierten Eigenmoden (NEMs = Neglected Eigenmodes), um welche das System nach der Modalreduktion beraubt ist, unterteilen, (3.4), [YH86]. zusammengefasst werden. Nach einer Biorthonormierung projizieren die Modalmatrizen die Systemmatrix A über auf die Diagonalmatrix ihrer Eigenwerte [HS07, S. 47 ff.]. Modale Reduktion Unter Anwendung der Beziehung von Formel 2.7 kann über eine Modaltransformation Eigenfrequenz [Hz] Eigenform REM-Set 0 Starrkörperrotation Antriebsstrang Ja 12,0 / 12,2 1. Biegung Strang mit Gehäuse um x / y, geringfügige Torsion 30,0 / 37,4 2. Biegung Strang mit Gehäuse um x / y, geringfügige Torsion 54,2 / 58,3 1. Torsion Strang mit Biegung um x / y, max. Schwingungsenergie am Turas … … Nein 176,9 2. Torsion Strang, max. Schwingungsenergie am Schneckenrad Eigenverhalten Turasantrieb Ja Ja Ja Nein … … Nein antriebstechnik 12/2015 71

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