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werden kann. Der

werden kann. Der Wärmeübergangskoeffizient α berechnet sich dabei nach folgender Formel [8]: α: Wärmeübergangskoeffizient Nu: Nußelt-Zahl λ F : Wärmeleitfähigkeit des Fluids L: charakteristische Länge Für die natürliche Konvektion ergibt sich die Nußelt-Zahl folgendermaßen: Nu: Nußelt-Zahl Pr: Prandtl-Zahl Gr: Grashof-Zahl Der funktionale Zusammenhang dieser Größen ist geometrieabhängig und lässt sich den Literaturangaben [8] entsprechend entnehmen. Während die Prandtl-Zahl eine temperaturabhängige Stoffgröße ist, die näherungsweise als konstant angesehen werden kann, kann die Grashof-Zahl berechnet werden. Für eine erzwungene Konvektion gilt: Nu: Nußelt-Zahl Pr: Prandtl-Zahl Re: Reynolds-Zahl Auch hier ist das Zusammenspiel beider Größen geometrieabhängig. Die Reynolds-Zahl ist geschwindigkeitsabhängig. Die erzwungene Konvektion wird im Modell nur auf den Schuh und dessen Aufbau angewendet, welcher vereinfacht als Quader angenommen wird. Aus der Verfahrbewegung des Schuhs folgend, besteht dieser bei einer seitlichen Anströmung aus drei längs angeströmten Flächen und aus zwei theoretisch periodisch frontal angeströmten Flächen. Für ein solches instationäres Verhalten finden sich allerdings keine verlässlichen Berechnungsgrundlagen, weshalb beide Flächen ebenfalls als seitliche Flächen angenommen werden. Für die Aufheizphase ergibt sich der Wärmeübergangskoeffizient α aus einer kombinierten Nußelt-Zahl, in welcher natürliche und erzwungene Konvektion verrechnet sind. Die kombinierte Nußelt- Zahl ergibt sich wie folgt [9]: Nu ges : Kombinierte Nußelt-Zahl Nu erz : Nußelt-Zahl der erzwungenen Konvektion Nu nat : Nußelt-Zahl der natürlichen Konvektion Neben der Konvektion ist zudem die Wärmestrahlung der Komponenten zu betrachten. Die abgestrahlte Leistung ergibt sich nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz und ist abhängig von der vierten Potenz der Körper- und der Umgebungstemperatur, wodurch sich folgender Zusammenhang ergibt: : Wärmestrom ε: Emissionskoeffizient σ: Stefan-Boltzmann-Konstante A O : Oberfläche des strahlungs-emittierenden Körpers T ε : Temperatur des strahlungs-emittierenden Körpers T u = Umgebungstemperatur Um den Rechenaufwand zu verringern, wird die Gleichung linearisiert und somit ein Wärmeübergangskoeffizienten α Strahlung ermittelt, welcher im Anschluss mit dem Konvektionswerten verrechnet werden kann. Der Ausdruck lässt sich durch die dritte binomische Formel in folgende Form bringen: bzw.: mit Dieser Ansatz ist möglich, da die Wärmeübergangskoeffizienten für diskrete Temperaturunterschiede der Bauteiloberfläche zur Umgebung berechnet werden und tabellarisch hinterlegt werden. Aus diesem Grund ist keine Linearisierung im Sinne einer Taylorreihenentwicklung mit dem Abbruch nach dem ersten Glied gemeint, sondern lediglich eine Darstellung der Stefan-Boltzmann- Gleichung mit einer Abhängigkeit des Wärmestroms von einer Temperaturdifferenz. Das in der Gleichung enthaltene ε ist der Emissionskoeffizient, der dimensionslos angibt, wie stark ein Körper Strahlung emittiert. Dieser wird im Wesentlichen durch den Werkstoff und durch die Oberflächenbeschaffenheit beeinflusst. In der Literatur [8] sind Werte für den Emissionsgrad der jeweiligen Oberflächen zu finden. Insgesamt ergibt sich also ein Wärmeübergangskoeffizient, der sich aus der Summe der Übergangskoeffizienten für Konvektion und für Strahlung ergibt. Somit werden letztlich drei Phänomene der Wärmeübertragung (Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung) in diesem Modell berücksichtigt. Zwischen den fünf Modellbauteilen existieren weiterhin vier Kontaktflächen mit je einem Kontaktwärmeübergang. Die entsprechenden Koeffizienten werden vom Lehrstuhl für Wärme- und Stoffübertragung der RWTH Aachen (WSA) anhand der Oberflächenbeschaffenheit sowie des Kontaktdrucks in der Fuge ermittelt. Der letzte verbleibende Durchgangskoeffizient zwischen Schuh und Schiene wird durch einen eigenen Versuch bestimmt. Der Wärmeeintrag ist äquivalent zur Reibleistung und lässt sich somit aus den Stribeck-Kurven berechnen. Die Dauerversuche werden mit einer konstanten Geschwindigkeit von 30 m/min betrieben. Die zu dieser Geschwindigkeit gehörende Reibkraft kann der Reibkennlinie entnommen werden und liefert im Produkt mit der Verfahrgeschwindigkeit die Reibleistung. Im Prognosemodell wird dieser Wärmeeintrag über die gesamte Verfahrlänge des Schuhs auf die Schiene angewendet. Die Flächen, auf die dieser Wärmeeintrag im Modell wirkt, hängen von dem Entstehungsort ab. Der Anteil der Reibleistung, der durch die Abstreifer verursacht wird, wird auf die gesamte Oberfläche der Schiene angewendet, die von den Abstreifern berührt wird. Der Teil des Wärmeeintrags aufgrund des Wälzkontakts wirkt auf die Wälzkörperlaufflächen, welche allerdings um die Randstücke, auf denen der Schuh im Versuch nicht fährt, reduziert werden. Diese Maßnahme ist in Bild 07, angedeutet durch die hellen Striche, erkennbar. 64 antriebstechnik 1-2/2017

LINEARTECHNIK Die Validierung Der Vergleich in Bild 08 zwischen den Messwerten und dem Prognosemodell zeigt, dass die Realität durch das Modell mit hoher Genauigkeit abgebildet werden kann. Für die Profilschiene ergeben sich in der Aufheizphase maximale absolute Abweichungen von ungefähr 0,6 °C. Als relative Abweichung ergibt sich bezogen auf das gemessene Temperaturdelta ein Unterschied von maximal 7,5 %. Die maximale absolute Abweichung an der Platte, welche den gesamten Prüfstand abbildet, ergibt sich zu 1 °C, was einer relativen Abweichung von 12,5 % entspricht. Für den Aufbau auf dem Führungsschuh ergeben sich absolute Abweichungen von maximal 0,95 °C bei einer relativen Abweichung von ca. 10 %. Da es beispielsweise an den Seiten der Platte zu verhältnismäßig kleinen Temperaturänderungen kommt, führen hier schon kleine Abweichungen des Prognosemodells zu den oben genannten relativen Abweichungen. Die stationäre Endtemperatur wird an allen Messpunkten mit sehr hoher Genauigkeit prognostiziert. In der Abkühlphase erreichen die absoluten Abweichungen über 2 °C. Im Mittel liegt somit eine relative Abweichung zwischen Messung und Prognosemodell unter 10 % vor. Die in der Abkühlphase relativ hohen Abweichungen liegen in der Wahl der geometrischen Abbildung des Prüfstands begründet. Zur Vereinfachung des Modells wird der gesamte Prüfstandsaufbau durch eine Platte repräsentiert, wodurch sich die ergebende Wärmeabgabe nicht nach Literaturangaben bestimmen lässt. Der Vergleich zeigt, dass diese entsprechend angepasst werden muss. Die Ergebnisse zeigen, dass das Modell hinreichend genau ist, um das thermische Verhalten von Profilschienenführungen vorherzusagen. Zusammenfassung und Ausblick Als Ergebnis lassen sich die einzelnen Einflüsse auf das thermische Verhalten von Profilschienenführungen nun sowohl qualitativ als auch quantitativ gegeneinander abschätzen. Dauerversuche zeigen, dass Komponententemperaturen zwischen 20 °C und 35 °C keine messbaren Auswirkungen auf die Reibkraft haben. Untersuchungen verschiedener Wälzkörper ergeben, dass Profilschienenführungen mit Kugeln empfindlich auf Laständerungen reagieren und dass Zylinderrollen eine stärkere Abhängigkeit von der Verfahrgeschwindigkeit aufweisen. Weiterhin zeigt die Analyse der Vorspannklassen, dass für definierte Bereiche der Verfahrgeschwindigkeit eine verringerte Reibkraft erzielt werden kann. Bei lastfreiem Betrieb dominiert der Einfluss des Abstreifers, welcher jedoch ebenfalls einen Stribeck-ähnlichen Verlauf aufweist und somit nicht als konstanter Faktor berücksichtigt werden kann. Weiterhin zeigt sich, dass eine Fettschmierung grundsätzlich zu deutlich höheren Reibkräften führt. Teilweise ergibt sich bei einer Fettschmierung die doppelte Reibkraft im Vergleich zu einer Ölschmierung. Im Vergleich zweier unterschiedlicher Baugrößen zeigt sich, dass die Reibkraft der Baugröße 45 ca. 55 % über der Reibkraft der Baugröße 35 liegt. Durch die Kenntnis der sich einstellenden Reibkräfte kann der Wärmeeintrag einer sich im Betrieb befindlichen Profilschienenführung somit bestimmt werden. Dieser Wärmeeintrag lässt sich als Wärmelast für ein Prognosemodell übernehmen. Das sich einstellende Temperaturprofil kann hierdurch mit hoher Genauigkeit prognostiziert werden. z 07 Simulationsmodell für die Komponente 08 Vergleich zwischen Versuch und Simulation Literaturverzeichnis: [1] Großmann, K.: Thermo-energetic Design of Machine Tools. Heidelberg, New York, London: Springer, 2015 [2] Kistler Group: Quarzkristall-Kraftmesselemente. Winterthur, Firmenschrift, ohne Jahresangabe [3] Pfeifer, T.; Profos, P.: Handbuch der industriellen Meßtechnik. 6. Aufl., München: Oldenbourg, 1994 [4] Norm DIN EN 60584 Teil 1. Thermoelemente. Thermospannungen und Grenzabweichungen, 2015 [5] Norm DIN EN 60751. Industrielle Platin-Widerstandsthermometer und Platin-Temperatursensoren, 2009 [6] Exxon Mobil Corporation: Fett – Bestandteile und Eigenschaften. Firmenschrift, 2012 [7] Schaeffler Wälzlager oHG: Labyrinthdichtungen für Wälzlager. Homburg (Saar). Firmenschrift, 1995 [8] VDI e.V.: VDI-Wärmeatlas. Springer, 2013 [9] Gleich, S.: Simulation des thermischen Verhaltens spanender Werkzeugmaschinen in der Entwurfsphase. Diss. TU Chemnitz, 2008 Danksagung Die Autoren danken der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) für die finanzielle Unterstützung des Sonderforschungsbereichs Transregio 96, Teilprojekt B03: „Komponenten- und Baugruppenuntersuchung“. antriebstechnik 1-2/2017 65